Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 6 стр.

поверхность (см. рис. 4).
      Рассмотрим сечение графика функции плоскостью z=C (эта плоскость
параллельна плоскости XOY и пересекает ось Z в точке z=C). Спроектируем
линию пересечения этой плоскости с поверхностью z = f(x,y) на плоскость XOY
и получим так называемую линию уровня функции z = f(x,y). Таким образом,
линией уровня функции                 z   f ( x, y )       называется множество точек ( x, y )
плоскости XOY, в которых функция принимает одно и то же значение С. То
есть это линия f ( x, y )        C на плоскости XOY, в точках которой функция
принимает одно и то же значение z                C.
      Придавая различные значения параметру C, можно получить множество
линий уровня функции f(x,y). Если, например, взять числа C1 , C 2 ,, C n , ,
образующие арифметическую прогрессию с разностью d, то получим ряд линий
уровня, по взаимному расположению которых можно получить представление
о графике функции, то есть о форме поверхности. Там, где линии
располагаются гуще, функция изменяется быстрее, следовательно, поверхность
идет круче.
      Если же для каждой линии уровня указать соответствующее ей значение
C, то получится топографическая карта поверхности, представляющей собой
график функции.
      Замечание. Термин “линии уровня” заимствован из картографии. Там
линиями уровня называют линии, на которых высота точек земной поверхности
над уровнем моря одинакова. По ним можно судить не только о высоте над
уровнем моря определенной точки местности, но и о характере рельефа данной
местности. В метеорологии пользуются сетями изотерм и изобар - линий
одинаковых средних температур и линий равных средних давлений. Изотермы
и изобары являются линиями уровня температуры и давления как функций
координат точки местности (то есть функций двух переменных).
      Аналогично       определяются               поверхности         уровня   функции       трех
переменных     u   f ( x, y , z ) .   Поверхностью уровня функции                  u   f ( x, y , z )

                                                       6