Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

8
Определение 2. Число
A
называется пределом функции
),( yxfz
при
00
, yyxx
(или в точке
),(
000
yxM
), если для любого сколь угодно малого
положительного числа
0
существует число
0)(
(зависящее от )
такое, что для всех
)(),( fDyx
(
00
, yyxx
), удовлетворяющих условию
(то есть принадлежащих – окрестности точки
0
M
),
выполняется неравенство
Ayxf ),(
.
Обозначается предел следующим образом:
Ayxf
yy
xx
),(lim
0
0
или
Ayxf
MM
),(lim
0
.
Свойства пределов функций одной переменной сохраняются и для
функций многих переменных, то есть если функции f(М) и g(М) имеют в точке
М
0
конечные пределы, то
1)
)(lim
0
Mfc
ММ
=
)(lim
0
Mfс
MM
;
2)
))()((lim
0
MgMf
MM
=
)(lim)(lim
00
MgMf
MMMM
;
3)
)()(lim
0
MgMf
MM
=
)(lim
0
Mf
ММ
)(lim
0
Mg
MM
;
4)
,
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
0
0
0
Mg
Mf
Mg
Mf
MM
MM
MM
если
0)(lim
0
Mg
MM
.
Заметим, что если предел
)(lim
0
Mf
MM
существует, то он не должен
зависеть от пути, по которому точка М стремится к точке М
0
.
Пример 5. Найти предел
)1ln(
lim
22
22
0
0
yx
yx
y
x
.
Решение. Введем обозначение
22
yxr
, откуда
222
yxr
. При
0,0 yx
имеем, что
0r
. Тогда
))1(ln(
lim
0
0
)1ln(
lim
)1ln(
lim
2
0
2
0
22
22
0
0
r
r
r
r
yx
yx
rr
y
x
         Определение 2. Число A называется пределом функции z                                                                f ( x, y ) при
x      x0 , y     y 0 (или в точке M 0 ( x0 , y 0 ) ), если для любого сколь угодно малого
положительного числа                         0 существует число                                      ( )       0 (зависящее от            )
такое, что для всех ( x, y )                  D( f ) ( x                  x0 , y           y 0 ), удовлетворяющих условию

    ( x x0 ) 2   (y    y0 ) 2           (то есть принадлежащих                                      – окрестности точки M 0 ),

выполняется неравенство f ( x, y) A                                           .
         Обозначается предел следующим образом:
                                    lim f ( x, y )                   A или lim f ( x, y )                     A.
                                    x    x0                                           M    M0
                                    y    y0


         Свойства пределов функций одной переменной сохраняются и для
функций многих переменных, то есть если функции f(М) и g(М) имеют в точке
М0 конечные пределы, то
         1) lim c f ( M ) = с lim f ( M ) ;
            М    М0                     M     M0


         2) lim ( f ( M )       g ( M )) = lim f ( M )                             lim g ( M ) ;
            M    M0                               M     M0                        M       M0


         3) lim f ( M ) g ( M ) = lim f ( M )                                 lim g ( M ) ;
            M    M0                           М    М0                     M       M0


                                lim f ( M )
                f (M )          M   M0
         4) lim                                         , если lim g ( M )                          0.
            M M g (M )
                  0             lim g ( M )                               M       M0
                                M       M0


         Заметим, что если предел                            lim f ( M ) существует, то он не должен
                                                             M       M0


зависеть от пути, по которому точка М стремится к точке М 0.

                                         x2 y2
         Пример 5. Найти предел lim                 .
                                x 0 ln( 1 x 2 y 2
                                                  )
                                 y 0


         Решение. Введем обозначение r                                                x2       y 2 , откуда r 2         x2      y 2 . При
x      0, y      0 имеем, что r                   0 . Тогда

                               x2 y2                                          r                 0                  r
                      lim                                lim                                         lim
                      x 0 ln( 1 x 2 y2 )                 r       0   ln( 1 r )     2
                                                                                                0    r   0   (ln( 1 r 2 ))
                       y 0



                                                                      8

Страницы