Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 9 стр.

                                                                 1                     1 r2
                                               lim                                 lim                      .
                                               r     0     1                       r 0 ( 2r )
                                                              ( 2r )
                                                         1 r2
                                                                                           x2      y4
         Пример 6. Показать, что функция f ( x, y )                                                   не имеет предела в
                                                                                           x4      y2
точке (0;0).
         Решение. Положим сначала y                                      x (эта прямая проходит через точку
(0;0)). Тогда
                                                                                     x2    x4
                                                   lim        f ( x, y )         lim 4             1.
                                               x     0, y 0
                                                   ( y x)
                                                                                 x 0 x     x2

         С другой стороны, если положить y                                        x 2 (эта линия также проходит через
точку (0;0)), получим
                                                           x2     x8                x 2 (1 x 6 )                 1 x6
                       lim        f ( x, y )        lim                      lim                    lim                  .
                   x     0, y 0                     x    0 x4     x4         x    0      2x 4           x       0 2x 2
                       ( y x2 )


                             x2                      y4
         Следовательно, lim 4                           в точке (0;0) не существует.
                        x 0 x
                         y 0
                                                     y2

         Определение 3. Функция z                                 f ( x, y ) называется непрерывной в точке
M 0 ( x0 , y 0 ) , если:

         1) f ( x, y ) определена в точке M 0 ( x0 , y 0 ) и в некоторой ее окрестности;
         2) f ( x, y ) имеет конечный предел lim f ( x, y ) в точке M 0 ( x0 , y 0 ) ;
                                                                         x   x0
                                                                         y   y0


         3) этот предел равен значению функции в точке M 0 ( x0 , y 0 ) , т.е.
lim f ( x, y )     f ( x0 , y 0 ) .
x   x0
y   y0


         Функция z            f ( x, y ) называется непрерывной в некоторой области, если
она непрерывна в каждой точке этой области.
         Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются
точками разрыва этой функции. У некоторых функций точки разрыва образуют

                                                                     9