Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

7
называется поверхность
Сzyxf ),,(
, в точках которой функция принимает
одно и то же значение
Cu
.
Пример 4. Найдем линии уровня функции
y
x
z
.
Решение. Уравнение семейства
линий уровня имеет вид
C
y
x
, то есть
)0(C
C
x
y
и
)0(0,0 Cyx
. Таким
образом, линии уровня данной функции
это гиперболы, расположенные в I и III
четвертях, если
0C
, и во II и IV
четвертях при
0C
, и ось Оу
)0(C
с
выколотым началом координат.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением функций двух переменных,
так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух
переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.
2. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух
переменных. Понятия предела и непрерывности функции двух переменных
аналогичны случаю одной переменной.
Прежде всего, введем понятие - окрестности данной точки
),(
000
yxM
.
Определение 1. Пусть
– произвольная точка плоскости.
–окрестностью точки
называется
множество всех точек плоскости
),( yxM
,
координаты которых удовлетворяют неравенству
2
0
2
0
)()( yyxx
. Другими словами,
–окрестность точки
0
M
– это все внутренние
точки круга с центром в точке
0
M
и радиусом .
о
C>0
C<0
C=0
y
x
0
y
x
x
0
y
0
0
М
0 
называется поверхность f ( x, y, z )                С , в точках которой функция принимает

одно и то же значение u                C.
                                                                            x
      Пример 4. Найдем линии уровня функции z                                 .
                                                                            y
                                                                Решение.          Уравнение           семейства
                                                                                           x
                   y                                 линий уровня имеет вид                      C , то есть
                                                                                           y
  C<0                                  C>0
                                                               x
                                                      y          (C   0) и x       0, y        0 (C   0) . Таким
                                                               C
                   C=0




                       о
                                                     образом, линии уровня данной функции
                           0                         это гиперболы, расположенные в I и III
                                              x
                                                     четвертях, если C               0 , и во II и IV
                                                     четвертях при C              0 , и ось Оу        (C    0) с

                                                     выколотым началом координат.
      В дальнейшем ограничимся рассмотрением функций двух переменных,
так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух
переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.
      2. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух
переменных. Понятия предела и непрерывности функции двух переменных
аналогичны случаю одной переменной.
      Прежде всего, введем понятие                     - окрестности данной точки M 0 ( x0 , y 0 ) .
      Определение 1. Пусть M 0 ( x0 , y 0 ) – произвольная точка плоскости.
  –окрестностью                точки    M 0 ( x0 , y 0 )       называется
                                                                                           y
множество      всех             точек       плоскости            M ( x, y ) ,
координаты которых удовлетворяют неравенству                                              y0           М0

 ( x x0 ) 2   (y     y0 ) 2        . Другими словами,                                      0          x0       x
  –окрестность точки M 0 – это все внутренние
точки круга с центром в точке M 0 и радиусом                          .


                                                           7

Страницы