Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

86
Аналогично, считая
x
постоянной величиной, находим
y
z
:
yz
constx
y
4
)(
.
Задание 3. Вычислить значения частных производных
x
u
,
y
u
и
z
u
функции
zyxu sin
2
в точке
2
,1,1
0
M
.
Решение. Находим
zyxuzyxuzyu
zyx
cos;sin2;sin
22
.
Тогда
,
2
2
,1,1
y
u
,
0
2
,1,1
x
u
.
Задание 4. Вычислить приближенно
206,0
)97,1(5e
с помощью полного
дифференциала.
Решение. Рассмотрим функцию
2
5),( yeyxf
x
. Нужно найти
приближенное значение этой функции при
06,0x
и
97,1y
. Положим
2,0
00
yx
. Тогда
06,0006,0
0
xxx
,
03,0297,1
0
yyy
.
Найдем частные производные функции:
2
2
52
5
)5(),(
ye
e
yeyxf
x
x
x
x
x
,
22
2
552
2
)5(),(
ye
y
ye
y
yeyxf
xx
y
x
y
.
Тогда
3
2
)2;,0();(;
6
5
)2;0();(
0000 yyxx
fyxffyxf
. Применив формулу
(4.3), получим
yfxffe
yx
)2;0()2;0()2;0()97,1(5
202,0
03,3)03,0(
3
2
06,0
6
5
3
. 
       Аналогично, считая x постоянной величиной, находим z y :

                                                                     zy             4y .
                                                                  ( x const )




       Задание 3. Вычислить значения частных производных u x , u y и u z

функции u       x y 2 sin z в точке M 0                             1, 1,           .
                                                                            2
       Решение.             Находим                  ux       y 2 sin z; u y                    2 x y sin z; u z                      x y 2 cos z .

Тогда u x     1, 1,              1, u y          1, 1,              2 , ux              1, 1,                0.
                       2                                 2                                      2


       Задание 4. Вычислить приближенно                                             5e 0,06         (1,97) 2 с помощью полного
дифференциала.

       Решение. Рассмотрим функцию                                              f ( x, y )              5e x          y 2 . Нужно найти

приближенное значение этой функции при x                                                            0,06 и y 1,97 . Положим
x0   0, y 0   2 . Тогда               x       x     x0       0,06 0                 0,06 ,          y        y        y0       1,97    2     0,03 .
Найдем частные производные функции:

                                                                     x          2                    5e x
                                          f x ( x, y)        ( 5e           y )x                                          ,
                                                                                                         x            2
                                                                                             2 5e                 y
                                                                                    2y                            y
                       f y ( x, y )       ( 5e x          y2 )y                                                                .
                                                                         2 5e x             y2               5e x         y2

                                                   5                                                         2
Тогда f x ( x0 ; y0 )            f x (0;2)           ; f y ( x0 ; y 0 )              f y (0, ;2)               . Применив формулу
                                                   6                                                         3
(4.3), получим

                      5e 0, 02     (1,97) 2              f (0; 2)        f x (0; 2)             x    f y (0; 2)               y
                                                    5      2
                                             3        0,06   ( 0,03)                            3,03 .
                                                    6      3



                                                                     86

Страницы