Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

88
xy
y
yx
y
yx
x
y
xyy
yx
y
x
y
xyy
y
x
x
y
xy
2
)1(
2
)1(
2
)1(
2
1
22
2
22
.
Следовательно, данная функция удовлетворяет данному уравнению.
Задание 7. Вычислить значения частных производных в точке
)2,1,0(
0
M
неявной функции
),( yxzz
, заданной уравнением
9
23
xzyz
.
Решение. Перепишем уравнение в виде
09
23
xzyz
и
воспользуемся формулами (7.3):
),,(
),,(
zyxF
zyxF
x
z
z
x
,
),,(
),,(
zyxF
zyxF
y
z
z
y
.
В нашнм случае
2),,(
23
xzyzzyxF
. Тогда
,
.
Следовательно
6
1
)2,1,0(
x
z
,
6
1
)2,1,0(
y
z
.
Задание 8. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к
данной поверхности
yxyxyxz 22
22
в точке
)1,1,1(
0
M
.
Решение. 1) Найдем значения частных производных
x
f
и
z
f
в точке
)1,2,1(
0
M
:
122),( yxyxf
x
,
1)1;1(
x
f
,
222),( yxyxf
y
,
2)1;1(
y
f
.
2) Подставим найденные значения и координаты данной точки
)1,2,1(
0
M
в уравнение касательной плоскости (8.3) и в уравнение нормали
(8.4), получим уравнение касательной плоскости:
)1(2)1(1 yxz
или
02 zyx
; 
                y           y2 1                            x( y 2 1)                    x( y 2 1)           x( y 2 1)
        xy        x                               y                                                                      xy .
                x                         y                                   y              2y                  2y
                       2y       xy                    2y2            xy
                                          x                                   x
       Следовательно, данная функция удовлетворяет данному уравнению.


       Задание 7. Вычислить значения частных производных в точке M 0 (0,1, 2)

неявной функции z               z ( x, y ) , заданной уравнением z 3                               y2        xz 9 .

       Решение.          Перепишем                    уравнение                в        виде        z3        y2   xz 9 0       и
воспользуемся формулами (7.3):

                            z         Fx ( x, y , z )                                    z     F y ( x, y , z )
                                                            ,                                                      .
                            x         Fz ( x, y , z )                                    y     Fz ( x, y, z )

       В нашнм случае F ( x, y, z)                     z3        y2          xz 2 . Тогда
                                              z                  z            z            2y
                                                                         ,                      .
                                              x        3z 2          x        y          3z 2 x
                                 z                    1 z                               1
       Следовательно               (0,1, 2)            ,  (0,1, 2)                        .
                                 x                    6 y                               6


       Задание 8. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к
данной поверхности z                 x2       2xy y 2                x 2 y в точке M 0 (1,1,1) .
       Решение. 1) Найдем значения частных производных f x и f z в точке
M 0 (1, 2, 1) :
        f x ( x, y )   2 x 2 y 1,                               f x (1;1)          1,

        f y ( x, y)     2x 2 y 2 ,                              f y (1;1)      2.

       2) Подставим найденные значения и координаты данной точки
M 0 (1, 2, 1) в уравнение касательной плоскости (8.3) и в уравнение нормали
(8.4), получим уравнение касательной плоскости:
                            z 1           ( x 1) 2( y 1) или x 2 y                             z        0;

                                                                  88

Страницы