ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
90
1). Найдем стационарные точки функции внутри области задания:
yxz
x
22
,
162 yxz
y
,
0162
,022
yx
yx
,
8
1
,
8
1
yx
.
Точка
8
1
,
8
1
не принадлежит рассматриваемой области, поэтому значение
функции в этой точке нас не интересует.
2). Исследуем функцию на границе области.
а) Уравнение отрезка ОА:
10,0 xy
. На этом отрезке функция имеет
вид:
2
xz
. Она принимает наименьшее значение в точке О(0, 0), а наибольшее
– в точке А(1, 0).
б) Уравнение отрезка ОВ:
10,0 yx
. На этом отрезке функция имеет
вид:
yyz
2
3
. Тогда
16yz
,
0z
при
6
1
y
. То есть стационарная
точка -
6
1
,0
1
M
.
в) Уравнение отрезка АВ:
10,1 xyx
. Подставив
xy 1
в
выражение для функции, получим:
)1()1(3)1(2
22
xxxxxz
или
274
2
xxz
.
Тогда
78xz
,
0z
при
8
7
x
,
8
1
8
7
1y
. То есть стационарная
точка -
8
1
,
8
7
2
M
.
Вычислим значения функции во всех найденных точках О(0, 0), А(1, 0),
6
1
,0
1
M
,
8
1
,
8
7
2
M
и в точке В(0, 1):
0)0,0()( zOz
,
1)0,1()( zAz
,
2)1,0()( zBz
,
12
1
6
1
,0)(
1
zMz
,
16
17
8
1
,
8
7
)(
2
zMz
.
1). Найдем стационарные точки функции внутри области задания:
zx 2x 2 y , z y 2x 6 y 1,
2x 2 y 0, 1 1
, x , y .
2x 6 y 1 0 8 8
1 1
Точка , не принадлежит рассматриваемой области, поэтому значение
8 8
функции в этой точке нас не интересует.
2). Исследуем функцию на границе области.
а) Уравнение отрезка ОА: y 0, 0 x 1 . На этом отрезке функция имеет
вид: z x 2 . Она принимает наименьшее значение в точке О(0, 0), а наибольшее
– в точке А(1, 0).
б) Уравнение отрезка ОВ: x 0, 0 y 1 . На этом отрезке функция имеет
1
вид: z 3y 2 y . Тогда z 6 y 1, z 0 при y . То есть стационарная
6
1
точка - M 1 0, .
6
в) Уравнение отрезка АВ: x y 1, 0 x 1 . Подставив y 1 x в
выражение для функции, получим:
z x2 2 x(1 x) 3(1 x) 2 (1 x) или z 4x 2 7x 2 .
7 7 1
Тогда z 8x 7 , z 0 при x , y 1 . То есть стационарная
8 8 8
7 1
точка - M 2 , .
8 8
Вычислим значения функции во всех найденных точках О(0, 0), А(1, 0),
1 7 1
M 1 0, , M2 , и в точке В(0, 1):
6 8 8
z (O) z (0,0) 0 , z ( A) z (1,0) 1 , z ( B) z (0,1) 2,
1 1 7 1 17
z(M 1 ) z 0, , z(M 2 ) z , .
6 12 8 8 16
90
