Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

89
уравнение нормали:
1
1
2
1
1
1 zyx
.
Задание 9. Исследовать функцию
yxyxyxz 84
22
на экстремум.
Решение. 1. Находим частные производные
x
z
и
y
z
:
42 yxz
x
,
82yxz
y
.
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
082
,042
yx
yx
.
Получим
4,0 yx
. То есть точка
является стационарной.
3. Находим частные производные второго порядка:
2)42(
xxx
yxz
;
1)42(
yxy
yxz
;
2)82(
yyy
yxz
.
4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в
найденной стационарной точке. Для точки
имеем:
2)4,0(
xx
zA
,
1)4,0(
xy
zB
,
2)4,0(
yy
zC
.
Так как
03122
2
BAC
и
0A
то в точке
функция
имеет минимум.
5. Находим значение функции в точке
:
163216)4,0(
min
zz
.
Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
yyxyxz
22
32
в замкнутой области,
ограниченной линиями
1,0,0 yxyx
.
Решение. Область задания функции представляет
собой треугольник, ограниченный координатными
осями и прямой
1yx
.
y
x
1
1
0
А
В 
уравнение нормали:
                                            x 1         y 1       z 1
                                                                      .
                                              1          2          1


     Задание 9. Исследовать функцию z                            x2   xy y 2            4 x 8 y на экстремум.
     Решение. 1. Находим частные производные z x и z y :

                                       zx       2x      y 4 , zy      x 2y 8 .

     2. Для определения критических точек решаем систему уравнений
                                                      2x        y 4   0,
                                                                           .
                                                        x 2y 8        0
     Получим x           0, y      4 . То есть точка M (0, 4) является стационарной.
     3. Находим частные производные второго порядка:
         z xx   (2 x   y 4) x      2 ; z xy      (2x y 4) y           1 ; z yy      ( x 2 y 8) y          2.
     4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в
найденной стационарной точке. Для точки M (0, 4) имеем:
                        A    z xx (0, 4)        2, B       z xy (0, 4) 1, C        z yy (0, 4)   2.

     Так как            AC B 2          2 2 1 3 0 и A 0 то в точке M (0, 4) функция
имеет минимум.
     5. Находим значение функции в точке M (0, 4) :
                                        z min        z (0, 4) 16 32              16 .


     Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z   x2      2xy 3 y 2    y         в            замкнутой             области,
ограниченной линиями x               0, y        0, x      y 1.                            y
                                                                                           1 В
     Решение. Область задания функции представляет
собой треугольник, ограниченный координатными                                                              А
осями и прямой x            y 1.                                                           0          1        x


                                                           89

Страницы