Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление. Никитина О.Г. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

87
Задание 5. Найти частные производные первого и второго порядков для
функции
)ln(
2
zyxu
.
Решение.
zyx
x
x
u
2
2
,
zyx
y
u
2
1
,
zyx
z
u
2
1
,
22
2
22
2
2
2
)(
222
)(
22)(2
zyx
xzy
zyx
xxzyx
x
u
x
x
u
,
222
2
)(
1
zyx
y
u
y
y
u
,
222
2
)(
1
zyx
z
u
z
z
u
,
22
2
)(
2
zyx
x
x
u
yyx
u
,
22
2
)(
2
zyx
x
x
u
zzx
u
,
22
2
)(
1
zyx
y
u
zzy
u
.
Задание 6. Проверить, удовлетворяет ли функция
x
y
xyu
уравнению
.
Решение. Найдем частные производные данной функции:
x
y
xyy
y
x
y
xy
y
y
x
u
2
1
2
1
2
,
x
y
xyy
yx
x
y
xy
y
x
x
y
u
2
2
2
2
)1(
2
.
Подставим найденные производные и функцию в левую часть данного
уравнения: 
      Задание 5. Найти частные производные первого и второго порядков для
функции u             ln( x 2           y z) .
      Решение.
          u         2x                                          u              1                             u                 1
                                        ,                                               ,                                               ,
          x       x2 y              z                           y     x2        y   z                        z    x2            y   z
          2
           u                  u             2( x 2          y       z) 2x 2x                2 y 2z 2x 2
                                                                                                         ,
          x2          x       x                      (x2            y z) 2                  ( x 2 y z) 2
          2
              u               u                             1
              2                                    2
                                                                           ,
          y           y       y               (x            y       z) 2
          2
              u               u                             1
              2                                    2
                                                                           ,
          z           z       z               (x            y       z) 2
          2
           u                    u                           2x
                                                                    ,
          x y             y     x              (x2           y z) 2
          2                                                                         2
           u                    u                           2x                       u                       u                      1
                                                       2
                                                                    ,                                                                              .
          x z          z        x              (x            y z) 2                 y z              z       y            (x   2
                                                                                                                                    y       z) 2


                                                                                                                                    y
      Задание 6. Проверить, удовлетворяет ли функция u                                                                     xy         уравнению
                                                                                                                                    x
      u           u
u x           y               xy .
      x           y
      Решение. Найдем частные производные данной функции:
                               1                                                                 x
                       y                                                                    x
          u                    y                           y2 1           u                      y2               x( y 2 1)
                                                                        ,                                                                   .
          x                          y                                y   y                              y            2                 y
                  2        xy                 2y            xy                      2           xy               2y            xy
                                     x                                x                                  x                              x
Подставим найденные производные и функцию в левую часть данного
уравнения:




                                                                               87

Страницы