Практикум по теории управления в среде MATLAB. Никульчев Е.В. - 77 стр.

где tr (.) – след, т.е. сумма диагональных элементов матрицы.
       Пусть на вход многомерного фильтра поступает искаженный
сигнал как сумма полезного сигнала M(t) и помехи N(t), т.е.
                               Y (t ) = M (t ) + N (t ) ,
где M(t) и N(t) – l-мерные векторы с известными корреляционными
функциями RMM(t,τ) и RNN(t,τ).
       Предположим, что существует идеальный вход X(t) некоторой
системы, который определяет желаемый выход и связан с полезным
сигналом соотношением
                                  t
                       X (t ) = ∫ K ID (t , τ) M (τ)dτ ,
                                  t0

где KID(t, τ) – матрица импульсной передаточной функция идеальной
системы. Рассмотрим вектор ошибок
                          X σ′ (t ) = X (t ) − Xˆ (t ) .
     Задача состоит в том, чтобы выбрать такую физическую
реализуемую матричную импульсную переходную функцию К*(t, τ) так,
чтобы математическое ожидание квадрата нормы ошибок было
минимальным
                              {         2
                                           }
                          M X σ (t ) = min ,
                                              K (t ,τ)
                                                             (6.4)
где K(t, τ) = 0.
      В зависимости от того, какая задача стоит: прогнозирование,
фильтрации или сглаживания, определяется KID(t, τ) идеальной системы.
В задаче фильтрации X(t) = M(t), т.е. KID(t, τ) = E*δ(t–τ). При такой
постановке задачи минимум среднеквадратической ошибки (6.4)
определяется МИПФ K*(t, τ), получаемой из обобщенного уравнения
Винера-Хопфа для многомерных систем
                                       t
                    RMY (t , τ) = ∫ K * (t , s) RYY ( s, τ)ds .
                                       0

      Известно, что если на вход системы поступает случайный сигнал
Y(t), являющийся стационарным, в широком смысле, случайным
процессом, оптимальную матричную передаточную функцию W*(s)
многомерного фильтра можно получить факторизацией рациональной
матрицы спектральных плоскостей. В случае нестационарного
случайного процесса решение интегрального уравнения Вольтерра 1-го
рода даже для скалярного случая представляет серьезные трудности, не
говоря уже о векторном.


                                      – 77 –