Автоматизированное проектирование. Норенков И.П. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

%!#*%!#&F*:,$* $I*:+*
F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M
5@!"! 3
ференцирование назад:
dV/dt |
n
= (V
n —
V
n-1
) / h
n
,
где h
n
= t
n
-t
n-1
.
Выполним сравнительный анализ явных и неявных методов на примере модельной задачи:
dV/dt = AV (3.23)
при ненулевых начальных условиях V
0
≠ 0 и при использов ании методов Эйлера с посто янным шаг ом h.
Здесь C — постоянная матрица; V — вектор фазовых переменных.
При алгебраизации явным методом имеем
(V
n+1
- V
n
) / h = A V
n
или
V
n+1
= (E + hA) V
n
,
где & — единичная матрица. Вектор V
n+1
можно выразить через вектор начальных условий V
0
:
V
n+1
= (E + hA)
n
V
0
. (3.24)
Обозначим
B = E + hA (3.25)
и применим преобразование подобия для матрицы (
( = T
-1
diag{λ
Bj
}T,
где M — преобразующая матрица, diag{λ
Bj
} -диагона льная матрица с собственными значениями λ
Bj
матрицы ( на диагонали. Нетрудно видеть, что
(
n
= T
-1
diag{λ
Bj
n
}T.
Из линейной алгебры известно, что собственные значения матриц, связанных арифметическими опе-
рациями, оказываются связанными такими же преобразованиями. Поэтому из (3.25) следует
λ
Bj
= 1 + hλ
Cj.
Точное решение модельной задачи (3.23) V(t) → 0 при t →∞, следовательно, условием устойчи-
вости процесса численного решения можно считать
V
n+1
→ 0 при n →∞,
откуда последовательно получаем
(E + hA)
n
V
0
→ 0,
так как V
0
≠ 0, то (E + hA)
n
→ 0, поскольку M ≠ 0, то λ
Bj
n
→ 0 и условие устойчивости
-1 < |1 + hλ
Cj
| < 1. (3.26)
Известно, что для физически устойчивых систем собственные значения матрицы коэффициен-
тов в ММС оказываются отрицательными. Если к тому же все λ
Cj
вещественные величины (характер
процессов в ММС с моделью (3.23) апериодический), то естественно определить 0#+&#9**.$ ("$/$-
*' E'6'1$+%#; +'+&$/. как
τ
j
= - 1 / λ
Cj
,
и условие (3.26) конкретизируется следующим образом
-1 < |1 - h/τ
j
| < 1
или
0 < h < 2τ
min
, (3.27)
где τ
min —
минимальная постоянная времени. Если использовать явные методы более высокого поряд-
ка, то может увеличиться коэффициент перед τ
min
в (3.27), но это принципиально не меняет оценки яв-
ных методов.
&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&*
62
 5@!"! 3                                 %!#*%!#&F*:,$*   $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M

ференцирование назад:
        dV/dt | n = (Vn — Vn-1 ) / hn,
где hn = tn - tn-1.
      Выполним сравнительный анализ явных и неявных методов на примере модельной задачи:
           dV/dt = AV                                                                 (3.23)
при ненулевых начальных условиях V0 ≠ 0 и при использовании методов Эйлера с постоянным шагом h.
Здесь C — постоянная матрица; V — вектор фазовых переменных.
      При алгебраизации явным методом имеем
           (Vn+1 - Vn ) / h = A Vn
или
          Vn+1 = (E + hA) Vn,
где & — единичная матрица. Вектор Vn+1 можно выразить через вектор начальных условий V0:
          Vn+1 = (E + hA)n V0.                                                          (3.24)
Обозначим
        B = E + hA                                                                      (3.25)
и применим преобразование подобия для матрицы (
          ( = T-1diag{λBj}T,
где M — преобразующая матрица, diag{λBj} -диагональная матрица с собственными значениями λBj
матрицы ( на диагонали. Нетрудно видеть, что
          (n = T-1diag{λBjn}T.
Из линейной алгебры известно, что собственные значения матриц, связанных арифметическими опе-
рациями, оказываются связанными такими же преобразованиями. Поэтому из (3.25) следует
        λBj = 1 + hλCj.
     Точное решение модельной задачи (3.23) V(t) → 0 при t → ∞, следовательно, условием устойчи-
вости процесса численного решения можно считать
         Vn+1 → 0 при n → ∞,
откуда последовательно получаем
         (E + hA)n V0 → 0,
так как V0 ≠ 0, то (E + hA)n → 0, поскольку M ≠ 0, то λBjn → 0 и условие устойчивости
          -1 < |1 + hλCj| < 1.                                                          (3.26)
      Известно, что для физически устойчивых систем собственные значения матрицы коэффициен-
тов в ММС оказываются отрицательными. Если к тому же все λCj вещественные величины (характер
процессов в ММС с моделью (3.23) апериодический), то естественно определить 0#+	**.$ ("$/$-
*' E'6'1$+%#; +'+&$/. как
         τj = - 1 / λCj,
и условие (3.26) конкретизируется следующим образом
         -1 < |1 - h/τj | < 1
или
          0 < h < 2τmin,                                                                (3.27)
где τmin — минимальная постоянная времени. Если использовать явные методы более высокого поряд-
ка, то может увеличиться коэффициент перед τmin в (3.27), но это принципиально не меняет оценки яв-
ных методов.

 &.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*            +($*,#&($"!)&*                                 62

Страницы