Автоматизированное проектирование. Норенков И.П. - 64 стр.

 5@!"! 3                                 %!#*%!#&F*:,$*        $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M

решения V(t) в ряд Тейлора в окрестностях точки tn+1, получаем для (n+1)-го неявного шага
          V(tn ) = V(tn+1) - (dV/dt)hн + (d2V/dt2)hн2 / 2! - (d3V/dt3)h*3 / 3! + ...,       (3.28)
и для (n+2)-го явного шага
         V(tn+2) = V(tn+1) + (dV/dt)hя + (d2V/dt2)hя2/2! + (d3V/dt3)hя3/3! + ...,           (3.29)
где hн ' hя — величины неявного и явного шагов, а значения производных относятся к моменту tn+1.
Подставляя (3.28) в (3.29), при h = hя = hн получаем:
          V(tn+2) = V(tn ) + 2(dV/dt)h + 2(d3V/dt3 )hя3 / 3! + ...,
т.е. погрешности, обусловливаемые квадратичными членами в (3.28) и (3.29) взаимно компенсируют-
ся, и старшим из отбрасываемых членов становится член с h3. Следовательно, изложенное комбини-
рование неявной и явной формул Эйлера дает метод интегрирования второго порядка.
      Неявные методы и, в частности, рассмотренный комбинированный метод целесообразно ис-
пользовать только при переменной величине шага. Действительно, при заметных скоростях измене-
ния фазовых переменных погрешность остается в допустимых пределах только при малых шагах, в
квазистатических режимах шаг может быть во много раз больше.
      Алгоритмы автоматического выбора шага основаны на сравнении допущенной и допустимой
локальных погрешностей. Например, вводится некоторый диапазон (коридор) погрешностей δ, в пре-
делах которого шаг сохраняется неизменным. Если же допущенная погрешность превышает верхнюю
границу диапазона, то шаг уменьшается, если же выходит за нижнюю границу, то шаг увеличивается.
      E.-451 8.I.0+> ,+,-./ 0.D+0.2016 :[email protected]:+A.,7+6 <8:90.0+2. Вычисления при решении
СОДУ состоят из нескольких вложенных один в другой циклических процессов. Внешний цикл —
цикл пошагового численного интегрирования, параметром цикла является номер шага. Если модель
анализируемого объекта нелинейна, то на каждом шаге выполняется промежуточный цикл — итера-
ционный цикл решения системы нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ). Параметр цикла —
номер итерации. Во внутреннем цикле решается система линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ), например, при применении узлового метода формирования ММС такой системой является
(3.19). Поэтому в математическое обеспечение анализа на макроуровне входят методы решения СНАУ
и СЛАУ.
      Для решения СНАУ можно применять прямые итерационные методы такие, как метод простой
итерации или метод Зейделя, но в современных программах анализа наибольшее распространение по-
лучил метод Ньютона, основанный на линеаризации СНАУ. Собственно модель (3.19) получена имен-
но в соответствии с методом Ньютона. Основное преимущество метода Ньютона — высокая скорость
сходимости.
      Представим СНАУ в виде
          F(X) = 0.                                                                   (3.30)
      Разлагая F(X) в ряд Тейлора в окрестностях некоторой точки Nk, получаем
          F(X) = F(Xk) + (∂F/∂X)(X-Xk) + (X-Xk)T(∂2F/∂X2)(X-Xk) / 2 + ... = 0.
Сохраняя только линейные члены, получаем СЛАУ с неизвестным вектором N :
        Vk(X - Xk) = - F(Xk),                                                               (3.31)
где Vk = (∂F/∂X)|k. Решение системы (3.31) дает очередное приближение к корню системы (3.30), ко-
торое удобно обозначить Xk+1.
     Вычислительный процесс стартует с начального приближения X0 и в случае сходимости итера-
ций заканчивается, когда погрешность, оцениваемая как
          |∆Nk| = |Xk - Xk-1|,
станет меньше допуcтимой погрешности ε.
     Однако метод Ньютона не всегда приводит к сходящимся итерациям. Условия сходимости метода
Ньютона выражаются довольно сложно, но существует легко используемый подход к улучшению схо-


 &.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*                +($*,#&($"!)&*                                 64