Автоматизированное проектирование. Норенков И.П. - 63 стр.

 5@!"! 3                                 %!#*%!#&F*:,$*      $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M

      Если нарушено условие (3.27), то происходит потеря устойчивости вычислений, а это означает,
что в решении задачи возникают ложные колебания с увеличивающейся от шага к шагу амплитудой
и быстрым аварийным остановом ЭВМ вследствие переполнения разрядной сетки. Конечно, ни о ка-
кой адекватности решения говорить не приходится.
      Для соблюдения (3.27) применяют те или иные алгоритмы автоматического выбора шага. Отме-
тим, что в сложной модели расчет τmin для непосредственного выбора шага по (3.27) слишком трудо-
емок, кроме того, однократный расчет τmin мало чем помогает, так как в нелинейных моделях τmin мо-
жет изменяться от шага к шагу.
      Условие (3.27) накладывает жесткие ограничения на шаг интегрирования. В результате вычис-
лительная эффективность явных методов резко падает с ухудшением #27+4#(4$**#+&' ММС. В самом
деле, длительность ?инт моделируемого процесса должна быть соизмеримой с временем успокоения
системы после возбуждающего воздействия, т.е. соизмерима с максимальной постоянной времени
τmax. Требуемое число шагов интегрирования равно
          Ш = ?инт / h ∼ τmax / τmin.
     Отношение Ч = τmax/τmin называют ")62"#+#/ 0#+	**., ("$/$*' или 1'+4#/ #27+4#(4$**#+&'.
Чем больше это число, тем хуже обусловленность. Попытки применения явных методов к любым
ММС чаще всего приводят к недопустимо низкой вычислительной эффективности, поскольку в ре-
альных моделях Ч > 105 — обычная ситуация. Поэтому в настоящее время в универсальных програм-
мах анализа явные методы решения СОДУ не применяют.
     Аналогичный анализ числовой устойчивости неявных методов дает следующие результаты.
Вместо (3.24) имеем
         Vn = (E - hA)-n V0
и условие числовой устойчивости принимает вид
         -1 < |1/(1 + h/τj)| < 1,
которое выполняется при любых h > 0. Следовательно, неявный метод Эйлера обладает так называе-
мой K-7+&#;1'(#+&5<.
       + - 0 B .F 6 9 0 . . Метод интегрирования СОДУ называют K-устойчивым, если погрешность интегрирования оста-
ется ограниченной при любом шаге h > 0.
       Применение K-устойчивых методов позволяет существенно уменьшить требуемые числа шагов
Ш. В этих методах шаг выбирается автоматически не из условий устойчивости, а только из соображе-
ний точности решения.
       Выбор порядка метода решения СОДУ довольно прост: во-первых, более высокий порядок обес-
печивает более высокую точность, во-вторых, среди неявных разностных методов, кроме метода Эй-
лера, K-устойчивы также методы второго порядка и среди них — метод трапеций. Поэтому преобла-
дающее распространение в программах анализа получили методы второго порядка — модификации
метода трапеций.
       CD@48+-/ A+,D.004@4 +0-.@8+849:0+> *$OP. Одна из удачных реализаций неявного метода
второго порядка, которую можно считать модификацией /$&#-) &")0$=';, основана на комбиниро-
ванном использовании явной и неявной формул Эйлера. Рассмотрим вопрос, почему такое комбини-
рование снижает погрешность и приводит к повышению порядка метода.
       Предварительно отметим, что в методах "-го порядка локальная погрешность, т.е. погрешность,
допущенная на одном n-м шаге интегрирования, оценивается старшим из отбрасываемых членов
             δ = c||V(p+1)(τ)|| hp+1,
в разложении решения V(t) в ряд Тейлора, где с — постоянный коэффициент, зависящий от метода,
||V(p+1)(τ)|| — норма вектора ("+1)-х производных V(t), которая оценивается с помощью конечно-раз-
ностной аппроксимации, τ — значение времени t внутри шага.
       Если n-й шаг интегрирования в комбинированном методе был неявным, т.е. выполненным по не-
явной формуле, то следующий шаг с тем же значением h должен быть явным. Используя разложение


 &.+.)$(*),$" . !"#$%!#&'&($"!))$*               +($*,#&($"!)&*                                            63