Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

возможности успешно выдерживать нужное направление. И это служит некоторым
оправданием термина, используемого для AR(1) процесса с a
1
= 1:
X
t
= X
t –1
+ ε
t
– случайное блуждание (процесс случайного блуждания – random walk).
Далее мы рассмотрим этот процесс подробнее, а сейчас обратим внимание на поведение
реализаций процесса
X
t
= a
1
X
t–1
+ ε
t
при a
1
= 1.05 и a
1
= 1.1. Обе реализации иллюстрируют “взрывной” (“explosive”) характер
поведения AR(1) процесса при a
1
> 0: траектории процесса очень быстро удаляются от
начального уровня на все возрастающие расстояния. В связи с этим “взрывные” модели
непригодны для описания поведения макроэкономических рядов на сколь-нибудь
протяженных интервалах времени.
Пониманию столь различного поведения реализаций AR(1) процесса помогает
представление модели в виде
X
t
– X
t–1
= a
1
X
t–1
– X
t–1
+ ε
t
= (a
1
– 1)X
t–1
+ ε
t
,
или
∆ X
t
= φ X
t–1
+ ε
t
,
где
∆ X
t
= X
t
– X
t–1
, φ = a
1
– 1.
При a
1
= 1 имеем φ = a
1
– 1= 0, и приращения ∆ X
t
ряда X
t
образуют процесс белого
шума, так что условное математическое ожидание ∆ X
t
при фиксированном (наблюдаемом)
значении X
t–1
= x
t–1
не зависит от x
t–1
и равно 0. Соответственно, при фиксированном
(наблюдаемом) значении X
t–1
= x
t–1
, условное математическое ожидание случайной
величины X
t
= ∆X
t
+ X
t–1
равно x
t–1
. Если распределение случайной величины ε
t
симметрично относительно нуля (а именно таково и гауссовское распределение, которое
использовалось нами при моделировании), то наблюдаемое значение X
t
= x
t
может с
равным успехом оказаться как больше, так и меньше x
t–1
. Именно это и определяет
“блуждающий” характер траектории ряда.
При a
1
> 1 имеем φ = a
1
– 1 > 0, и условное математическое ожидание ∆ X
t
при
фиксированном (наблюдаемом) значении X
t–1
= x
t–1
, равное E(∆ X
t
│X
t–1
= x
t–1
) = φ x
t–1
,
имеет знак, совпадающий со знаком x
t–1
. Таким образом, если x
t–1
> 0, то ожидаемое
значение следующего наблюдения X
t
= x
t
больше значения x
t–1
, а если x
t–1
< 0, то
ожидаемое значение следующего наблюдения X
t
= x
t
меньше значения x
t–1
. Наличие
такого механизма приводит к быстрому и прогрессирующему удалению траектории
процесса от начального уровня, что и наблюдалось нами для реализаций AR(1) модели при
a
1
= 1.05 и a
1
= 1.1.
Наконец, при 0 < a
1
< 1 имеем φ = a
1
– 1 < 0, и условное математическое ожидание ∆ X
t
при фиксированном (наблюдаемом) значении X
t–1
= x
t–1
, равное E(∆ X
t
│X
t–1
= x
t–1
) = φ x
t–1
,
имеет знак, противоположный знаку x
t–1
. Таким образом, если x
t–1
> 0, то ожидаемое
значение следующего наблюдения X
t
= x
t
меньше значения x
t–1
, а если x
t–1
< 0, то 
возможности успешно выдерживать нужное направление. И это служит некоторым
оправданием термина, используемого для AR(1) процесса с a1= 1:
Xt = Xt –1 + εt – случайное блуждание (процесс случайного блуждания – random walk).
   Далее мы рассмотрим этот процесс подробнее, а сейчас обратим внимание на поведение
реализаций процесса
   Xt = a1Xt–1 + εt
при a1 = 1.05 и a1 = 1.1. Обе реализации иллюстрируют “взрывной” (“explosive”) характер
поведения AR(1) процесса при a1 > 0: траектории процесса очень быстро удаляются от
начального уровня на все возрастающие расстояния. В связи с этим “взрывные” модели
непригодны для описания поведения макроэкономических рядов на сколь-нибудь
протяженных интервалах времени.
   Пониманию столь различного поведения реализаций AR(1) процесса помогает
представление модели в виде
   Xt – Xt–1 = a1Xt–1 – Xt–1 + εt = (a1 – 1)Xt–1 + εt ,
или
   ∆ Xt = φ Xt–1 + εt ,
где
   ∆ Xt = Xt – Xt–1 , φ = a1 – 1.
   При a1 = 1 имеем φ = a1 – 1= 0, и приращения ∆ Xt ряда Xt образуют процесс белого
шума, так что условное математическое ожидание ∆ Xt при фиксированном (наблюдаемом)
значении Xt–1 = xt–1 не зависит от xt–1 и равно 0. Соответственно, при фиксированном
(наблюдаемом) значении Xt–1 = xt–1 , условное математическое ожидание случайной
величины Xt = ∆Xt + Xt–1 равно xt–1 . Если распределение случайной величины εt
симметрично относительно нуля (а именно таково и гауссовское распределение, которое
использовалось нами при моделировании), то наблюдаемое значение Xt = xt может с
равным успехом оказаться как больше, так и меньше xt–1 . Именно это и определяет
“блуждающий” характер траектории ряда.
   При a1 > 1 имеем φ = a1 – 1 > 0, и условное математическое ожидание ∆ Xt при
фиксированном (наблюдаемом) значении Xt–1 = xt–1 , равное E(∆ Xt│Xt–1 = xt–1) = φ xt–1 ,
имеет знак, совпадающий со знаком xt–1. Таким образом, если xt–1 > 0, то ожидаемое
значение следующего наблюдения Xt = xt больше значения xt–1 , а если xt–1 < 0, то
ожидаемое значение следующего наблюдения Xt = xt меньше значения xt–1 . Наличие
такого механизма приводит к быстрому и прогрессирующему удалению траектории
процесса от начального уровня, что и наблюдалось нами для реализаций AR(1) модели при
a1 = 1.05 и a1 = 1.1.
   Наконец, при 0 < a1 < 1 имеем φ = a1 – 1 < 0, и условное математическое ожидание ∆ Xt
при фиксированном (наблюдаемом) значении Xt–1 = xt–1 , равное E(∆ Xt│Xt–1 = xt–1) = φ xt–1 ,
имеет знак, противоположный знаку xt–1. Таким образом, если xt–1 > 0, то ожидаемое
значение следующего наблюдения Xt = xt меньше значения xt–1 , а если xt–1 < 0, то

Страницы