Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ожидаемое значение следующего наблюдения X
t
= x
t
больше значения x
t–1
. Наличие
такого механизма обеспечивает удержание траектории процесса в относительной близости
от уровня, равного безусловному математическому ожиданию E(X
t
) = µ ряда (в данном
случае, µ = 0), и достаточно частое пересечение траекторией ряда этого уровня.
Мы ограничились здесь рассмотрением ситуаций с a
1
> 0, поскольку они наиболее
типичны для экономических временных рядов. Для полноты приведем также и
смоделированные реализации процесса X
t
= a
1
X
t–1
+ ε
t
при a
1
= – 1 и a
1
= – 1.1.
-4
-2
0
2
4
6
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
a1= -1
-
30
-
20
-
10
0
10
20
30
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
a1= - 1.1
Обратимся теперь к процессу случайного блуждания
X
t
= X
t–1
+ ε
t
, t = 1, …, T ,
со стартовым значением X
0
= x
0
. Мы можем представить X
t
в виде
X
t
= X
t–1
+ ε
t
= (X
t–2
+ ε
t–1
) + ε
t
= X
t–2
+ ε
t–1
+ ε
t
= (X
t–3
+ ε
t–2
) + ε
t–1
+ ε
t
=
= X
t–3
+ ε
t–2
+ ε
t–1
+ ε
t
= ... = X
0
+ (ε
1
+ ...+ ε
t
),
.
1
0
∑
=
+=
t
j
jt
XX
ε
Отсюда сразу получаем:
E(X
t
│X
0
= x
0
) = x
0
,
D(X
t
│X
0
= x
0
) = D(ε
1
+ ... + ε
t
) = D(ε
1
) + ... + D(ε
t
) = tD(ε
1
) = tσ
ε
2
.
Далее,
Cov(X
t
, X
t–1
│X
0
= x
0
) = E[(X
t
– x
0
)(X
t–1
– x
0
)│X
0
= x
0
] =
= E[(ε
1
+ ... + ε
t
)(ε
1
+ ... + ε
t–1
)] = (t – 1) σ
ε
2
не зависит от значения x
0
, так что
)1(
)1(
)()(
)1(
),(
22
2
1
2
1
−
−
=
−
=
−
−
tt
t
XDXD
t
XXCorr
tt
tt
εε
εε
σσ
σσ
=
.
1
1
1
t
t
t
−=
−
= 
ожидаемое значение следующего наблюдения Xt = xt больше значения xt–1 . Наличие
такого механизма обеспечивает удержание траектории процесса в относительной близости
от уровня, равного безусловному математическому ожиданию E(Xt) = µ ряда (в данном
случае, µ = 0), и достаточно частое пересечение траекторией ряда этого уровня.
   Мы ограничились здесь рассмотрением ситуаций с a1 > 0, поскольку они наиболее
типичны для экономических временных рядов. Для полноты приведем также и
смоделированные реализации процесса Xt = a1Xt–1 + εt при a1 = – 1 и a1 = – 1.1.
 6                                                         30

                                                           20
 4

                                                           10
 2
                                                            0
 0
                                                           -10

-2
                                                           -20

-4                                                         -30
     5   10   15   20        25   30   35   40   45   50         5   10   15   20     25    30   35   40   45   50

                         a1= -1                                                     a1= - 1.1




Обратимся теперь к процессу случайного блуждания
   Xt = Xt–1 + εt , t = 1, …, T ,
со стартовым значением X0 = x0 . Мы можем представить Xt в виде
   Xt = Xt–1 + εt = (Xt–2 + εt–1) + εt = Xt–2 + εt–1 + εt = (Xt–3 + εt–2) + εt–1 + εt =
              = Xt–3 + εt–2 + εt–1 + εt = ... = X0 + (ε1 + ...+ εt ),
                         t
     X t = X 0 + ∑ε j .
                        j =1

Отсюда сразу получаем:
   E(Xt│X0 = x0) = x0 ,
   D(Xt│X0 = x0) = D(ε1 + ... + εt ) = D(ε1) + ... + D(εt ) = tD(ε1) = tσε2 .
Далее,
   Cov(Xt , Xt–1│X0 = x0) = E[(Xt – x0)(Xt–1 – x0)│X0 = x0] =
                            = E[(ε1 + ... + εt )(ε1 + ... + εt–1 )] = (t – 1) σε2
не зависит от значения x0 , так что
                                (t − 1)σ ε2               (t − 1)σ ε2
   Corr ( X t , X t − 1 ) =                        =                      =
                             D( X t ) D( X t − 1 )    σ ε2 t σ ε2 (t − 1)
                                       t −1     1
                                  =         = 1− .
                                         t      t

Страницы