Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

X
t
= α + X
t–1
+ ε
t
, t = 1, …, T , X
0
= x
0
,
приращения которого имеют ненулевое математическое ожидание
E(∆ X
t
) = α ≠ 0.
Процесс X
t
во второй модели можно представить в виде
X
t
= α+ X
t–1
+ ε
t
= α+ (α+ X
t–2
+ ε
t–1
) + ε
t
= 2a+ X
t–2
+ ε
t–1
+ ε
t
=
= 3a + X
t–3
+ ε
t–2
+ ε
t–1
+ ε
t
= … = x
0
+ a t + (ε
1
+ ...+ ε
t
),
∑
=
++=
t
j
jt
atxX
1
0
ε
,
так что ряд X
t
имеет и детерминированный и стохастический тренды.
Детрендирование первого ряда приводит к ряду
X
t
0
= X
t
– (α+ β t) = ε
t
,
который является стационарным
. Детрендирование второго ряда приводит к ряду
∑
=
=+−=
t
j
jtt
atxXX
1
0
0
)(
ε
,
который не является стационарным
.
Пытаться остационарить ряд можно и другим способом. Именно, можно перейти от ряда
уровней X
t
к ряду разностей
∆ X
t
= X
t
– X
t–1
,
(такой переход в теории временных рядов называют
дифференцированием).
При таком переходе получаем для первого ряда
∆ X
t
= X
t
– X
t–1
= (α+ β t + ε
t
) – (α+ β (t – 1)+ ε
t–1
) = β + ε
t
– ε
t–1
,
а для второго ряда
∆ X
t
= X
t
– X
t–1
= α+ ε
t
.
Оба продифференцированных ряда ∆ X
t
стационарны. Первый продифференцированный
ряд относится к классу MA(1) и имеет математическое ожидание β . Второй
продифференцированный ряд относится к классу MA(0) и имеет математическое ожидание
α.
Таким образом, в отличие от детрендирования, операция дифференцирования приводит к
стационарному ряду в обоих случаях. Однако в результате дифференцирования первого ряда
получается процесс скользящего среднего, который не является обратимым
. И это имеет
некоторые нежелательные последствия при подборе модели по статистическим данным и
использовании подобранной модели для целей прогнозирования будущих значений ряда.
(См., например, [Hamilton (1994), главы 4 и 5].) В случае необратимости МА-составляющей
продифференцированного ряда становится невозможным использование обычных
алгоритмов идентификации модели, оценивания модели и диагностики оцененной модели,
рассмотренных ранее в главе 3.
Обобщая рассмотренную ситуацию, рассмотрим ряды 
  Xt = α + Xt–1+ εt , t = 1, …, T , X0 = x0 ,
приращения которого имеют ненулевое математическое ожидание
  E(∆ Xt) = α ≠ 0.
Процесс Xt во второй модели можно представить в виде
  Xt = α+ Xt–1 + εt = α+ (α+ Xt–2 + εt–1) + εt = 2a+ Xt–2 + εt–1 + εt =
                = 3a + Xt–3 + εt–2 + εt–1 + εt = … = x0 + a t + (ε1 + ...+ εt ),
                     t
   X t = x0 + at + ∑ ε j ,
                    j =1

так что ряд Xt имеет и детерминированный и стохастический тренды.
   Детрендирование первого ряда приводит к ряду
   Xt0 = Xt – (α+ β t) = εt ,
который является стационарным. Детрендирование второго ряда приводит к ряду
                              t
   X t0 = X t − ( x0 + at ) = ∑ ε j ,
                             j =1

который не является стационарным.
   Пытаться остационарить ряд можно и другим способом. Именно, можно перейти от ряда
уровней Xt к ряду разностей
   ∆ Xt = Xt – Xt–1 ,
(такой переход в теории временных рядов называют дифференцированием).
   При таком переходе получаем для первого ряда
   ∆ Xt = Xt – Xt–1 = (α+ β t + εt ) – (α+ β (t – 1)+ εt–1 ) = β + εt – εt–1 ,
а для второго ряда
   ∆ Xt = Xt – Xt–1 = α+ εt .
Оба продифференцированных ряда ∆ Xt стационарны. Первый продифференцированный
ряд относится         к классу MA(1) и имеет математическое ожидание           β . Второй
продифференцированный ряд относится к классу MA(0) и имеет математическое ожидание
α.
   Таким образом, в отличие от детрендирования, операция дифференцирования приводит к
стационарному ряду в обоих случаях. Однако в результате дифференцирования первого ряда
получается процесс скользящего среднего, который не является обратимым. И это имеет
некоторые нежелательные последствия при подборе модели по статистическим данным и
использовании подобранной модели для целей прогнозирования будущих значений ряда.
(См., например, [Hamilton (1994), главы 4 и 5].) В случае необратимости МА-составляющей
продифференцированного ряда становится невозможным использование обычных
алгоритмов идентификации модели, оценивания модели и диагностики оцененной модели,
рассмотренных ранее в главе 3.

   Обобщая рассмотренную ситуацию, рассмотрим ряды

Страницы