Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

X
t
= θ
0
+ θ
1
t + θ
2
t
2
+ ε
t
и
Y
t
= α + β
t + γ t
2
+ Z
t
,
где Z
t
- процесс, определяемый соотношениями
Z
t
= ε
t
+ 2ε
t – 1
+ 3ε
t – 2
+ … + t ε
1
, t = 1, …, T .
Детрендирование первого ряда приводит к стационарному ряду
X
t
0
= X
t
– (θ
0
+ θ
1
t + θ
2
t
2
) = ε
t
.
Детрендирование второго ряда приводит к ряду
Y
t
0
= Y
t
– (α + β
t + γ t
2
) = Z
t
,
у которого
D(Z
t
) = D(ε
t
+ 2ε
t – 1
+ 3ε
t – 2
+ … + t ε
1
) = σ
ε
2
(1 + 2 + …+ t) = σ
ε
2
t (t + 1)/2,
так что детрендированный ряд не является стационарным.
Если вместо вычитания линейного тренда произвести дифференцирование рядов, то для
ряда X
t
это приводит к ряду
∆ X
t
= θ
1
–
θ
2
+ 2θ
2
t + ε
t
– ε
t – 1
,
стационарному относительно линейного тренда: ряд
∆ X
t
– (θ
1
–
θ
2
+ 2θ
2
t) = ε
t
– ε
t – 1
является стационарным, но необратимым MA(1) рядом. Если же продифференцировать ряд
Y
t
, то в этом случае продифференцированный ряд
∆ Y
t
= (β
– γ
+ 2γ
t) + Z
t
– Z
t – 1
=
= β
– γ
+ 2γ
t + (ε
t
+ 2ε
t – 1
+ 3ε
t – 2
+ … + t ε
1
)
– (ε
t– 1
+ 2ε
t – 2
+ 3ε
t – 3
+ … + (t – 1)ε
1
) =
= β
– γ
+ 2γ
t + (ε
1
+ ε
2
+ … + ε
t – 1
+ ε
t
)
уже не является стационарным относительно линейного тренда: ряд
∆ Y
t
– (β
– γ
+ 2γ
t) = (ε
1
+ ε
2
+ … + ε
t – 1
+ ε
t
)
Нестационарен и представляет собой стохастический тренд.
С другой стороны, осуществляя двукратное
дифференцирование ряда Y
t
, т.е. переходя к
ряду ∆
2
Y
t
, где ∆
2
= (1 – L)
2
= 1 – 2L + L
2
, получаем стационарный MA(0) ряд
∆
2
Y
t
= 2 γ + ∆
2
Z
t
= 2 γ + Z
t
– 2Z
t – 1
+ Z
t – 2
=
= 2 γ + (ε
t
+ 2ε
t – 1
+ 3ε
t – 2
+ … + t ε
1
)
– 2(ε
t– 1
+ 2ε
t – 2
+ 3ε
t – 3
+ … + (t – 1)ε
1
) +
+ (ε
t– 2
+ 2ε
t – 3
+ 3ε
t – 4
+ … + (t – 2)ε
1
) = 2 γ + ε
t
.
При двукратном дифференцировании ряда X
t
, приходим к ряду
∆
2
X
t
= ∆ (∆ X
t
) = ∆ (X
t
– X
t–1
) = (X
t
– X
t–1
) – (X
t – 1
– X
t – 2
) =
= X
t
– 2X
t – 1
+ X
t – 2
= 2 θ
2
+ ε
t
– 2ε
t – 1
+ ε
t – 2
,
который представляет собой стационарный процесс скользящего среднего MA(2) с
математическим ожиданием 2θ
2
, не удовлетворяющий условию обратимости.
Действительно, уравнение b(z) = 0 здесь принимает вид
1 – 2z
+ z
2
= 0 
    Xt = θ0 + θ1 t + θ2 t2 + εt
и
    Yt = α + β t + γ t2 + Zt ,
где Zt - процесс, определяемый соотношениями
    Zt = εt + 2εt – 1 + 3εt – 2 + … + t ε1 , t = 1, …, T .
Детрендирование первого ряда приводит к стационарному ряду
    Xt0 = Xt – (θ0+ θ1 t + θ2 t2) = εt .
Детрендирование второго ряда приводит к ряду
    Yt0 = Yt – (α + β t + γ t2) = Zt ,
у которого
    D(Zt) = D(εt + 2εt – 1 + 3εt – 2 + … + t ε1) = σε2(1 + 2 + …+ t) = σε2 t (t + 1)/2,
так что детрендированный ряд не является стационарным.
    Если вместо вычитания линейного тренда произвести дифференцирование рядов, то для
ряда Xt это приводит к ряду
    ∆ Xt = θ1 – θ2 + 2θ2 t + εt – εt – 1 ,
стационарному относительно линейного тренда: ряд
    ∆ Xt – (θ1 – θ2 + 2θ2 t) = εt – εt – 1
является стационарным, но необратимым MA(1) рядом. Если же продифференцировать ряд
Yt , то в этом случае продифференцированный ряд
    ∆ Yt = (β – γ + 2γ t) + Zt – Zt – 1 =
      = β – γ + 2γ t + (εt + 2εt – 1 + 3εt – 2 + … + t ε1)
         – (εt– 1 + 2εt – 2 + 3εt – 3 + … + (t – 1)ε1) =
      = β – γ + 2γ t + (ε1 + ε2 + … + εt – 1 + εt)
уже не является стационарным относительно линейного тренда: ряд
    ∆ Yt – (β – γ + 2γ t) = (ε1 + ε2 + … + εt – 1 + εt)
Нестационарен и представляет собой стохастический тренд.
    С другой стороны, осуществляя двукратное дифференцирование ряда Yt , т.е. переходя к
ряду ∆2Yt , где ∆2 = (1 – L)2 = 1 – 2L + L2 , получаем стационарный MA(0) ряд
    ∆2Yt = 2 γ + ∆2 Zt = 2 γ + Zt – 2Zt – 1 + Zt – 2 =
       = 2 γ + (εt + 2εt – 1 + 3εt – 2 + … + t ε1)
            – 2(εt– 1 + 2εt – 2 + 3εt – 3 + … + (t – 1)ε1) +
            + (εt– 2 + 2εt – 3 + 3εt – 4 + … + (t – 2)ε1) = 2 γ + εt .
При двукратном дифференцировании ряда Xt , приходим к ряду
    ∆2Xt = ∆ (∆ Xt ) = ∆ (Xt – Xt–1) = (Xt – Xt–1) – (Xt – 1 – Xt – 2 ) =
       = Xt – 2Xt – 1+ Xt – 2 = 2 θ2 + εt – 2εt – 1 + εt – 2 ,
который представляет собой стационарный процесс скользящего среднего MA(2) с
математическим ожиданием 2θ2 , не удовлетворяющий условию обратимости.
Действительно, уравнение b(z) = 0 здесь принимает вид
    1 – 2z + z2 = 0

Страницы