Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

, ,2 ,1 , , 1 , )(
1 0
0
K=−===
−
∞
=
∑
jbbLbLb
jjj
j
j
j
ψψ
Отсюда вытекает, что
, 0)1(
0
==
∑
∞
=
j
j
bb
т.е. уравнение b(z) = 0 имеет единичный корень
.
Таким образом, если для некоторого стационарного ряда Z
t
,
Z
t
= µ + b(L) ε
t
, , 1 , )( где
0
0
==
∑
∞
=
bLbLb
j
j
j
выполнено соотношение
b(1) = 0,
то последнее указывает на “передифференцированность” ряда Z
t
: этот TS ряд получен в
результате дифференцирования некоторого TS ряда.
Совокупность интегрированных рядов различных порядков k = 1, 2, … образует класс
разностно стационарных,
или DS рядов (DS – difference stationary) . Если некоторый ряд
X
t
принадлежит этому классу, то мы говорим о нем как о DS ряде.
Пусть ряд X
t
– интегрированный порядка k . Подвергнем этот ряд k-кратному
дифференцированию. Если в результате получается стационарный ряд типа ARMA(p, q), то
говорят,что исходный ряд
X
t
является рядом типа ARIMA(p, k, q), или k раз
проинтегрированным ARMA(p, q) рядом (ARIMA – autoregressive integrated moving
average). Если при этом p = 0 или q = 0, то тогда употребляются и более короткие
обозначения:
ARIMA(p, k, 0) = ARI (p, k), ARIMA(0, k, q) = IMA( k, q),
ARIMA(0, k, 0) = ARI (0, k) = IMA( k, 0).
Возвращаясь к только что рассмотренным примерам, получаем:
X
t
= α + β t + ε
t
~ I(0);
X
t
= α + X
t–1
+ ε
t
~ I(1), X
t
– ряд типа ARIMA(0, 1, 0);
X
t
= θ
0
+ θ
1
t + θ
2
t
2
+ ε
t
~ I(0);
X
t
= α + β
t + γ t
2
+ ε
t
+ 2ε
t – 1
+ 3ε
t – 2
+ … + t ε
1
~ I(2), X
t
– ряд типа ARIMA(0, 2, 0).
Первый и третий из этих рядов являются TS рядами, а второй и четвертый – DS рядами.
Используя ту же самую имитацию белого шума, что и в предыдущих примерах, получаем
смоделированные реализации для двух первых процессов
TREND_1
t
= 1 + 0.5 t + ε
t
, ε
t
~ N(0, 1),
WALK
t
= 0.5+ WALK
t–1
+ ε
t
, ε
t
~ N(0, 0.5
2
), WALK
0
= 0: 
            ∞
   b( L) = ∑ b j L j , b0 = 1 , b j = ψ j −ψ j − 1 , j = 1, 2, K ,
           j =0

Отсюда вытекает, что
           ∞
   b(1) = ∑ b j = 0 ,
          j=0

т.е. уравнение b(z) = 0 имеет единичный корень.
   Таким образом, если для некоторого стационарного ряда Zt ,
                                        ∞
  Zt = µ + b(L) εt , где b( L) = ∑ b j L j , b0 = 1 ,
                                        j=0

выполнено соотношение
   b(1) = 0,
то последнее указывает на “передифференцированность” ряда Zt : этот TS ряд получен в
результате дифференцирования некоторого TS ряда.
   Совокупность интегрированных рядов различных порядков k = 1, 2, … образует класс
разностно стационарных, или DS рядов (DS – difference stationary) . Если некоторый ряд
Xt принадлежит этому классу, то мы говорим о нем как о DS ряде.
   Пусть ряд Xt – интегрированный порядка k . Подвергнем этот ряд k-кратному
дифференцированию. Если в результате получается стационарный ряд типа ARMA(p, q), то
говорят,что исходный ряд Xt является рядом типа ARIMA(p, k, q), или k раз
проинтегрированным ARMA(p, q) рядом (ARIMA – autoregressive integrated moving
average). Если при этом p = 0 или q = 0, то тогда употребляются и более короткие
обозначения:
ARIMA(p, k, 0) = ARI (p, k), ARIMA(0, k, q) = IMA( k, q),
ARIMA(0, k, 0) = ARI (0, k) = IMA( k, 0).

  Возвращаясь к только что рассмотренным примерам, получаем:
  Xt = α + β t + εt ~ I(0);
  Xt = α + Xt–1+ εt ~ I(1), Xt – ряд типа ARIMA(0, 1, 0);
  Xt = θ0 + θ1 t + θ2 t2 + εt ~ I(0);
  Xt = α + β t + γ t2 + εt + 2εt – 1 + 3εt – 2 + … + t ε1 ~ I(2), Xt – ряд типа ARIMA(0, 2, 0).
Первый и третий из этих рядов являются TS рядами, а второй и четвертый – DS рядами.
Используя ту же самую имитацию белого шума, что и в предыдущих примерах, получаем
смоделированные реализации для двух первых процессов
  TREND_1 t = 1 + 0.5 t + εt , εt ~ N(0, 1),
  WALKt = 0.5+ WALKt–1 + εt , εt ~ N(0, 0.52), WALK0 = 0:

Страницы