Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 6. Процедуры для различения TS и DS рядов
В этой и в последующих главах мы будем обозначать и случайные величины и их
реализации строчными буквами.
6.1. Предварительные замечания
Прежде, чем двигаться дальше, следует обратить внимание на одно важное
обстоятельство, которое является иногда причиной недоразумений при практическом
истолковании полученных результатов.
Рассмотрим TS ряд
x
t
= α + β
t + a
1
x
t – 1
+ ε
t
, | a
1
| < 1.
Относительно какого именно линейного тренда этот ряд является стационарным? Пусть
y
t
–
детрендированный ряд, так что
y
t
= x
t
– γ – δ
t и
y
t
= a
1
y
t – 1
+ ε
t
.
Подставляя выражения для
y
t
и y
t – 1
в последнее соотношение, находим:
x
t
– γ – δ
t = a
1
(x
t – 1
– γ – δ
(t – 1))
+ ε
t
,
x
t
= (γ – a
1
γ + a
1
δ)+ δ(1– a
1
) t + a
1
x
t – 1
+ ε
t
,
так что
α = γ – a
1
γ + a
1
δ и β = δ(1– a
1
), откуда получаем
δ = β
⁄ (1 – a
1
), γ = (α – a
1
(α + β)) ⁄ (1 – a
1
)
2
.
Таким образом, ряд
x
t
является стационарным относительно линейного тренда
t
a
a
a
)(1
)(1
) (
1
2
1
1
−
+
−
+−
β
β
α
α
.
В частности, при
β = 0 и α ≠ 0 процесс стационарен и имеет математическое ожидание
)(1
1
a−
=
α
µ
.
Если
a
1
= 1, то последнее представление невозможно, и надо исходить непосредственно
из определения ряда
x
t
. В этом случае
x
t
= α + β
t + x
t – 1
+ ε
t
=
=
(α + β
t + ε
t
) + (α + β(
t – 1) + ε
t–1
) + … + (α + β + ε
1
) + x
0
=
=
x
0
+ (α + β/2) t + (β/2) t
2
+ (ε
1
+ ε
2
+ … + ε
t
) .
При
α = β = 0 имеем простое случайное блуждание
x
t
= x
t–1
+ ε
t
, x
t
= x
0
+ (ε
1
+ ε
2
+ … + ε
t
) . 
Глава 6. Процедуры для различения TS и DS рядов
   В этой и в последующих главах мы будем обозначать и случайные величины и их
реализации строчными буквами.


6.1. Предварительные замечания

    Прежде, чем двигаться дальше, следует обратить внимание на одно важное
обстоятельство, которое является иногда причиной недоразумений при практическом
истолковании полученных результатов.
    Рассмотрим TS ряд
    xt = α + β t + a1 xt – 1 + εt , | a1| < 1.
Относительно какого именно линейного тренда этот ряд является стационарным? Пусть yt –
детрендированный ряд, так что yt = xt – γ – δ t и
    yt = a1 yt – 1 + εt .
Подставляя выражения для yt и yt – 1 в последнее соотношение, находим:
    xt – γ – δ t = a1(xt – 1 – γ – δ (t – 1)) + εt ,
    xt = (γ – a1 γ + a1δ)+ δ(1– a1) t + a1xt – 1 + εt ,
так что α = γ – a1 γ + a1δ и β = δ(1– a1), откуда получаем
    δ = β ⁄ (1 – a1), γ = (α – a1(α + β)) ⁄ (1 – a1)2 .
Таким образом, ряд xt является стационарным относительно линейного тренда
    α − a1 (α + β )          β
                       +            t.
        (1 − a1 ) 2
                          (1 − a1 )
 В частности, при β = 0 и α ≠ 0 процесс стационарен и имеет математическое ожидание
         α
   µ=               .
         (1 − a1 )
    Если a1 = 1, то последнее представление невозможно, и надо исходить непосредственно
из определения ряда xt . В этом случае
    xt = α + β t + xt – 1 + εt =
       = (α + β t + εt) + (α + β( t – 1) + εt–1) + … + (α + β + ε1) + x0 =
       = x0 + (α + β/2) t + (β/2) t2 + (ε1 + ε2 + … + εt) .
При α = β = 0 имеем простое случайное блуждание
    xt = xt–1 + εt , xt = x0 + (ε1 + ε2 + … + εt) .

Страницы