Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x
t
= x
t – 1
+ ε
t
.
Это процесс, для которого
• W(0) = 0;
• Приращения (W(r
2
) – W(r
1
)),…, (W(r
k
) – W(r
k–1
)) независимы в совокупности, если 0
≤
r
1
< r
2
< …< r
k
; W(s) – W(r) ~ N(0, s – r) при s > r ;
• Реализации W(r) непрерывны с вероятностью 1.
Из определения, в частности, следует, что
W(1) = W(1) – W(0) ~ N(0, 1), так что [W(1)]
2
~
χ
2
(1). Отсюда вытекает, что при больших T
{}{ }
{
}
{
}
68.01)1( 01)]1([ 01
ˆ
1
ˆ
22
11
=<=<−≈<−=<
χ
PWPaPaP ,
так что если DGP – простое случайное блуждание (без сноса), DGP:
x
t
= x
t – 1
+ ε
t
, то
оценивание SM:
x
t
= a
1
x
t – 1
+ ε
t
дает значение 1
ˆ
1
<
a примерно в 2/3 случаев.
Критические значения распределения статистики T(
1
ˆ
a – 1) при гипотезе a
1
= 1 для
конечных
T находятся методом статистических испытаний (Монте – Карло); впервые это
было сделано Фуллером [Fuller (1976)]. Соответствующие таблицы построены в
предположении, что
ε
t
~ N(0, σ
ε
2
), ε
1
, …, ε
T
– независимые случайные величины и x
0
= 0.
Однако следует заметить, что хотя значение
x
0
не влияет на асимптотическое распределение
T(
1
ˆ
a
– 1) , оно влияет на распределение T(
1
ˆ
a
– 1) при малых выборках.
Критерий, основанный на статистике
T(
1
ˆ
a – 1), отвергает гипотезу H
0
: a
1
= 1 в пользу
альтернативной гипотезы H
A
: a
1
< 1 на 5% уровне значимости при значениях T(
1
ˆ
a – 1),
меньших
T(
1
ˆ
a
– 1)
крит
, или при значениях
1
ˆ
a
, меньших
1
ˆ
a
крит
, где
T
T(
1
ˆ
a – 1)
крит
1
ˆ
a
крит
25
– 7.3 0.708
50
– 7.7 0.846
100
– 7.9 0.921
250
– 8.0 0.968
500
– 8.0 0.998
∞ – 8.1
Как видно из этой таблицы, при небольших значениях T гипотеза H
0
отвергается лишь для
значений
1
ˆ
a , намного меньших 1. Чувствительность критерия возрастает только при весьма
большом количестве наблюдений. Это приводит к тому, что при небольших
T отвергнуть
гипотезу H
0
: a
1
= 1 в пользу альтернативной гипотезы H
A
: a
1
< 1 довольно трудно, даже если
1
ˆ
a
существенно меньше 1.
Более привычным являлось бы, конечно, использование для проверки гипотезы H
0
: a
1
= 1
против H
A
: a
1
< 1 отношения 
   xt = xt – 1 + εt .
Это процесс, для которого
   • W(0) = 0;
   • Приращения (W(r2) – W(r1)),…, (W(rk) – W(r k–1)) независимы в совокупности, если 0
       ≤ r1 < r2 < …< rk ; W(s) – W(r) ~ N(0, s – r) при s > r ;
   • Реализации W(r) непрерывны с вероятностью 1.

Из определения, в частности, следует, что W(1) = W(1) – W(0) ~ N(0, 1), так что [W(1)]2 ~
χ2(1). Отсюда вытекает, что при больших T
                            {             } {          }
      P{aˆ1 < 1} = P{aˆ1 − 1 < 0} ≈ P [W (1)]2 − 1 < 0 = P χ 2 (1) < 1 = 0.68 ,
так что если DGP – простое случайное блуждание (без сноса), DGP: xt = xt – 1 + εt , то
оценивание SM: xt = a1 xt – 1 + εt дает значение aˆ1 < 1 примерно в 2/3 случаев.
     Критические значения распределения статистики T( â1 – 1) при гипотезе a1 = 1 для
конечных T находятся методом статистических испытаний (Монте – Карло); впервые это
было сделано Фуллером [Fuller (1976)]. Соответствующие таблицы                   построены в
предположении, что εt ~ N(0, σε2), ε1 , …, εT – независимые случайные величины и x0 = 0.
Однако следует заметить, что хотя значение x0 не влияет на асимптотическое распределение
T( â1 – 1) , оно влияет на распределение T( â1 – 1) при малых выборках.
     Критерий, основанный на статистике T( â1 – 1), отвергает гипотезу H0: a1 = 1 в пользу
альтернативной гипотезы HA: a1 < 1 на 5% уровне значимости при значениях T( â1 – 1),
меньших T( â1 – 1)крит, или при значениях â1 , меньших â1 крит , где
T       T( â1 – 1)крит â1 крит
25 – 7.3                 0.708
50 – 7.7                 0.846
100 – 7.9                0.921
250 – 8.0                0.968
500 – 8.0                0.998
∞       – 8.1
Как видно из этой таблицы, при небольших значениях T гипотеза H0 отвергается лишь для
значений â1 , намного меньших 1. Чувствительность критерия возрастает только при весьма
большом количестве наблюдений. Это приводит к тому, что при небольших T отвергнуть
гипотезу H0: a1 = 1 в пользу альтернативной гипотезы HA: a1 < 1 довольно трудно, даже если
â1 существенно меньше 1.
     Более привычным являлось бы, конечно, использование для проверки гипотезы H0: a1 = 1
против HA: a1 < 1 отношения

Страницы