Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

y
t
= f(t) + a
1
y
t – 1
+ ε
t
, a
1
< 1,
где
f(t) = 0 при t ≤ T
B
и f(t) = µ (1 – a
1
) при t > T
B
, µ ≠ 0 .
До момента
T
B
ряд y
t
осциллирует вокруг нулевого уровня. Как будут вести себя
траектории такого ряда
y
t
после перехода через дату излома T
B
? Для выяснения этого удобно
записать:
y
t
= a
1
y
t – 1
+ (f(t) + ε
t
) = a
1
y
t – 1
+ ν
t
.
Тогда для
t = T
B
+ h имеем
kt
hTB
k
khTB
hTB
ayy
−
−+
=
+
+
∑
+=
ν
1
0
10
=
=
()
kt
hTB
k
khTB
ktfay
−
−+
=
+
+−+
∑
ε
)(
1
0
10
=
=
()
∑∑
−
=
−+
=
−
+
−+
+
1
0
11
1
0
10
1`
h
k
k
hTB
k
kt
khTB
aaay
µε
.
Первое слагаемое в правой части (выражение в квадратных скобках) соответствует модели с
E(y
t
) = 0. Вторая сумма при h → ∞ имеет предел
()
µµ
=−
∑
−
=
∞→
1
0
11
1 lim
h
k
k
h
aa .
В этой модели после момента
t = T
B
процесс y
t
лишь постепенно выходит на новый уровень
µ , вокруг которого начинает происходить осцилляция траектории ряда.
Поскольку во второй модели значения
f(t) обрабатываются аналогично инновациям ε
t
(влияние обоих здесь убывает геометрически), то вторую модель называют моделью
инновационного выброса. В отличие от нее, первая модель называется моделью
аддитивного выброса.
Аналогично, можно рассматривать пары моделей (аддитивная – инновационная),
допускающие изменение наклона тренда без изменения уровня ряда
или допускающие и
изменение наклона тренда и изменение уровня ряда.
Ниже мы приводим графики, иллюстрирующие подобные ситуации.
Сдвиг среднего уровня ряда: 
      yt = f(t) + a1 yt – 1 + εt , a1 < 1,
где
   f(t) = 0 при t ≤ TB и f(t) = µ (1 – a1) при t > TB , µ ≠ 0 .
   До момента TB ряд yt осциллирует вокруг нулевого уровня. Как будут вести себя
траектории такого ряда yt после перехода через дату излома TB ? Для выяснения этого удобно
записать:
    yt = a1 yt – 1 + (f(t) + εt) = a1 yt – 1 + νt .
Тогда для t = TB + h имеем
                             TB + h −1
      yTB + h = y0TB + h +     ∑a ν
                               k =0
                                         k
                                         1   t −k   =
                             TB + h −1
              = y0TB + h +     ∑ a ( f (t − k ) + ε ) =
                              k =0
                                         k
                                         1              t −k


              TB + h TB + h−1 k  h −1 k
          =  y 0 + ∑ a1 ε t −k `+ ∑ a1 µ (1 − a1 ) .
                      k =0       k =0
Первое слагаемое в правой части (выражение в квадратных скобках) соответствует модели с
E(yt) = 0. Вторая сумма при h → ∞ имеет предел
             h −1
      lim ∑ a1k µ (1 − a1 ) = µ .
      h →∞
             k =0
В этой модели после момента t = TB процесс yt лишь постепенно выходит на новый уровень
µ , вокруг которого начинает происходить осцилляция траектории ряда.
     Поскольку во второй модели значения f(t) обрабатываются аналогично инновациям εt
(влияние обоих здесь убывает геометрически), то вторую модель называют моделью
инновационного       выброса. В отличие от нее, первая модель называется моделью
аддитивного выброса.
     Аналогично, можно рассматривать пары моделей (аддитивная – инновационная),
допускающие изменение наклона тренда без изменения уровня ряда или допускающие и
изменение наклона тренда и изменение уровня ряда.
 Ниже мы приводим графики, иллюстрирующие подобные ситуации.
 Сдвиг среднего уровня ряда:

Страницы