Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Напротив, если переменные x
t
и y
t
коинтегрированы, то
T
β
ˆ
является оценкой того
единственного
значения β , при котором ряд y
t
– βx
t
стационарен
Заметим теперь, что если в
DGP: x
t
= x
t – 1
+ ε
1t
,
y
t
= y
t – 1
+ ε
2t
допустить коррелированность
значений ε
1t
и ε
2t
в совпадающие моменты времени, т.е.
Cov(ε
1t
, ε
2t
) ≠ 0, то коррелированность ε
1t
и ε
2t
вовсе не означает, что ряды x
t
и y
t
коинтегрированы. Предположим все же, что существует некоторое значение β , при котором
y
t
= βx
t
+
u
t
, где u
t
–стационарный ряд. Тогда y
t – 1
– βx
t – 1
=
u
t – 1
, так что ∆y
t
= β ∆x
t
+
∆u
t
, а
отсюда
ε
2t
= β ε
1t
+
∆u
t
. Последнее можно записать в виде u
t
= u
t – 1
+ η
t
, где
η
t
= ε
2t
– β ε
1t
~ i.i.d. N(0, σ
η
2
).
Но это означает, что
u
t
– нестационарный процесс.
С другой стороны, если
x
0
= y
0
= 0, то
Cov(x
t
, y
t
) = Cov(ε
11
+ … + ε
1t
, ε
21
+ … + ε
2t
) = t Cov(ε
11
, ε
21
) ,
так что
x
t
и
y
t
– коррелированные, но не коинтегрированные случайные блуждания.
Существенно, что распределение статистики Дики – Фуллера в подобной ситуации не
зависит от конкретного вида матрицы ковариаций Σ = (Cov(ε
k 1
, ε
s 1
)) , k, s = 1, 2.
Тем же свойством обладает и распределение статистики Дарбина – Уотсона,
примененной к ряду остатков
(CRDW – cointegrating regression DW):
e
t
= y
t
–
T
α
ˆ
–
T
β
ˆ
x
t
.
При
T = 50 5% критическое значение последней статистики равно 0.78. Гипотеза
некоинтегрированности рядов отвергается, если наблюдаемое значение этой статистики
превышает критическое значение.
В нашем последнем примере значение статистики Дарбина – Уотсона равно 0.214, так
что гипотеза некоинтегрированности не отвергается и этим критерием.
Что следует делать в случае обнаружения паразитной связи между интегрированными
порядка 1 переменными
x
t
и
y
t
? Имеются три возможных пути обхода возникающих здесь
трудностей:
1.
Включить в правую часть уравнения запаздывающие значения обеих переменных,
точнее, рассмотреть статистическую модель
SM:
y
t
= α + β x
t
+
γ y
t – 1
+ δ x
t – 1
+ u
t
,
где
u
t
– стационарный ряд и переменная x
t
трактуется как экзогенная .
Последнее уравнение можно записать иначе в следующих двух формах:
(a)
y
t
= α + γ y
t – 1
+ β ∆x
t
+ (β + δ) x
t – 1
+ u
t
,
(б)
y
t
= α +
γ y
t – 1
+ (β + δ) x
t
– δ ∆x
t
+ u
t
. 
    Напротив, если переменные xt и yt коинтегрированы, то β̂ T является оценкой того
единственного значения β , при котором ряд yt – βxt стационарен
    Заметим теперь, что если в
    DGP: xt = xt – 1 + ε1t ,
              yt = yt – 1 + ε2t
допустить коррелированность значений ε1t и ε2t в совпадающие моменты времени, т.е.
Cov(ε1t , ε2t) ≠ 0, то коррелированность ε1t и ε2t вовсе не означает, что ряды xt и yt
коинтегрированы. Предположим все же, что существует некоторое значение β , при котором
yt = βxt + ut , где ut –стационарный ряд. Тогда yt – 1 – βxt – 1 = ut – 1 , так что ∆yt = β ∆xt + ∆ut , а
отсюда ε2t = β ε1t + ∆ut . Последнее можно записать в виде ut = ut – 1 + ηt , где
    ηt = ε2t – β ε1t ~ i.i.d. N(0, ση2).
Но это означает, что ut – нестационарный процесс.
    С другой стороны, если x0 = y0 = 0, то
    Cov(xt , yt ) = Cov(ε11 + … + ε1t , ε21 + … + ε2t) = t Cov(ε11, ε21) ,
так что xt и yt – коррелированные, но не коинтегрированные случайные блуждания.

   Существенно, что распределение статистики Дики – Фуллера в подобной ситуации не
зависит от конкретного вида матрицы ковариаций Σ = (Cov(εk 1, εs 1)) , k, s = 1, 2.
   Тем же свойством обладает и распределение статистики Дарбина – Уотсона,
примененной к ряду остатков (CRDW – cointegrating regression DW):
   et = yt – α̂ T – β̂ T xt .
При T = 50              5% критическое значение последней статистики равно 0.78. Гипотеза
некоинтегрированности рядов отвергается, если наблюдаемое значение этой статистики
превышает критическое значение.

   В нашем последнем примере значение статистики Дарбина – Уотсона равно 0.214, так
что гипотеза некоинтегрированности не отвергается и этим критерием.

    Что следует делать в случае обнаружения паразитной связи между интегрированными
порядка 1 переменными xt и yt ? Имеются три возможных пути обхода возникающих здесь
трудностей:
    1. Включить в правую часть уравнения запаздывающие значения обеих переменных,
точнее, рассмотреть статистическую модель
    SM: yt = α + β xt + γ yt – 1 + δ xt – 1 + ut ,
 где ut – стационарный ряд и переменная xt трактуется как экзогенная .
 Последнее уравнение можно записать иначе в следующих двух формах:
    (a) yt = α + γ yt – 1 + β ∆xt + (β + δ) xt – 1 + ut ,
    (б) yt = α + γ yt – 1 + (β + δ) xt – δ ∆xt + ut .

Страницы