Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 198 стр.

 В обеих формах слева стоит интегрированная переменная yt ~ I(1).
    В правой части (а) параметр β является коэффициентом при стационарной переменной
 ∆xt , имеющей нулевое математическое ожидание; yt – 1 , xt – 1 ~ I(1), ut – стационарный ряд.
 Как было показано в работе [Sims, Stock, Watson (1990)], в такой ситуации оценки
 наименьших квадратов для всех коэффициентов SM состоятельны, оценка параметра β
 асимптотически нормальна. Обычная t-статистика для проверки гипотезы H0: β = 0 имеет
 асимптотически нормальное распределение N(0,1), если ut – белый шум. Аналогично, в
 правой части (б) параметр – δ является коэффициентом при стационарной переменной ∆xt ,
 имеющей нулевое математическое ожидание; yt –1 , xt ~ I(1), ut – стационарный ряд. Поэтому
 оценка параметра δ в рамках модели SM асимптотически нормальна, и t-статистика для
 проверки гипотезы H0: δ = 0 имеет асимптотически нормальное распределение N(0,1), если
 ut – белый шум. Оценки для β и δ остаются асимптотически нормальными и если ut –
 стационарный ряд, не являющийся белым шумом. Однако при этом асимптотическое
 распределение N(0,1) имеют скорректированные варианты t-статистик, в знаменателях
 которых стандартные оценки дисперсии ряда ut заменяются состоятельными оценками
 долговременной дисперсии этого ряда, определенной в разд. 6.8.1.
    В то же время, статистика qF = 2F для проверки гипотезы H0: β = δ = 0 не имеет
асимптотического распределения χ2(2) , поскольку рассматриваемую SM не удается линейно
репараметризовать таким образом, чтобы в правой части преобразованного уравнения и β и
δ одновременно стали коэффициентами при стационарных переменных, имеющих нулевые
математические ожидания. (У нас они становятся таковыми при разных репараметризациях.)

    2. Перед оцениванием модели связи продифференцировать ряды xt и yt ,
т.е. рассмотреть модель в разностях
    SM: ∆yt = α + β ∆xt + ut , где ut – стационарный ряд.
В этой модели оценки наименьших квадратов и для α и для β асимптотически нормальны.
Обе t-статистики имеют асимптотически нормальное распределение N(0,1), если ut – белый
шум. Если ut – стационарный ряд, не являющийся белым шумом, то необходимо произвести
коррекцию t-статистик, как и в предыдущем пункте.

   3. Использовать для оценивания модель регрессии с автокоррелированными остатками
   SM: yt = α + β xt + ut , ut = ρ xt – 1 + ε t , ut ~ i.i.d. N(0, σε2).
При этом предпочтительнее оценивать все три параметра α, β, ρ одновременно, используя
представление
    yt – ρ yt – 1 = α(1 – ρ) + β (xt – ρ xt – 1) + ε t .
   В случае ложной регрессии ρ̂ → 1 (по вероятности), так что, фактически, при больших
T этот метод равносилен предварительному дифференцированию рядов.

   Пример