Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 228 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

h
q
h
q
h
γγλ
ˆ
1
1 2
ˆ
ˆ
1
0
2
∑
=
+
−+= ,
где
1
1
ˆˆ
1
ˆ
−
+=
∑
=
t
T
ht
th
uu
T
γ
– оценки автоковариаций
h
γ
. При этом можно показать (см.,
например, [Hamilton (1994), p. 513]), что выбор
q = O(T
1/5
) обеспечивает состоятельность
такой оценки для
λ
2
(оценка Newey–West).
В рамках пакета EVIEWS реализация такого метода производится без труда. Следует
просто при спецификации уравнения заказать опцию: “вычисление стандартных ошибок
методом Newey-West”. (Отметим, однако, что в этой опции используется несколько
отличающаяся от приведенной оценка, реализующая еще и поправку на возможную
гетероскедастичность ряда.)
Если предположить, что динамика ряда
u
t
хорошо аппроксимируется моделью
авторегрессии AR(
p) с конечным p ,
u
t
= a
1
u
t – 1
+ a
2
u
t – 2
+ … + a
p
u
t – p
+ ε
t
,
где
ε
t
– инновационный процесс белого шума с D(ε
t
) =
σ
ε
2
, то тогда
λ
2
=
σ
ε
2
⁄ (1 – a
1
– a
2
– ... – a
p
)
2
.
Поэтому в такой ситуации в качестве оценки для
λ
2
естественно взять величину
()
2
21
2
2
ˆˆˆ
1
ˆ
ˆ
p
aaa −−−−
=
K
ε
σ
λ
,
где
p
aaa
ˆ
, ,
ˆ
,
ˆ
21
K – оценки наименьших квадратов для a
1
, a
2
, ... , a
p
,
∑
+=
−
=
T
pt
pT
1
22
ˆ
1
ˆ
εε
εσ
,
t
ε
ˆ
– остатки при оценивании модели авторегрессии для ряда
t
u
ˆ
.
В любом случае, замена
S
2
на
2
ˆ
λ
равносильна умножению значения t-статистики,
полученного обычным путем, на
(
)
λ
ˆ
S .
Пример
Смоделируем систему
DGP:
y
t
= 2 x
t
+ u
t
,
x
t
= 1 + x
t – 1
+ v
t
,
где
u
t
= 0.4 u
t – 1
+ 0.2 u
t – 2
+ ε
t
– стационарный AR(2) ряд,
ε
t
, ν
t
– гауссовские процессы белого шума, коррелированные в совпадающие моменты
времени:
Cov(ε
t
, ν
t
) = 0.8 : 
                       q
                                h 
      λˆ2 = γˆ 0 + 2 ∑ 1 −           γˆ h ,
                   h =1       q + 1 
                   T
              1
где      γˆ h =   ∑ uˆt uˆt − 1 – оценки автоковариаций γ h . При этом можно показать (см.,
             T t = h +1
например, [Hamilton (1994), p. 513]), что выбор q = O(T 1/5) обеспечивает состоятельность
такой оценки для λ2 (оценка Newey–West).
    В рамках пакета EVIEWS реализация такого метода производится без труда. Следует
просто при спецификации уравнения заказать опцию: “вычисление стандартных ошибок
методом Newey-West”. (Отметим, однако, что в этой опции используется несколько
отличающаяся от приведенной оценка, реализующая еще и поправку на возможную
гетероскедастичность ряда.)
    Если предположить, что динамика ряда ut хорошо аппроксимируется моделью
авторегрессии AR(p) с конечным p ,
    ut = a1 ut – 1 + a2 ut – 2 + … + ap ut – p + εt ,
 где εt – инновационный процесс белого шума с D(εt) =σε2 , то тогда
    λ2 = σε2 ⁄ (1 – a1 – a2 – ... – ap)2 .
Поэтому в такой ситуации в качестве оценки для λ2 естественно взять величину
     ˆ                σˆ ε2
    λ =
      2
                                      ,
          (1 − aˆ1 −aˆ 2 −K − aˆ p )2
где
      aˆ1 , aˆ 2 , K , aˆ p – оценки наименьших квадратов для a1 , a2 , ... , ap ,
                      T
              1
      σˆ ε2 =       ∑ εˆε2 ,
            T − p t = p +1
      εˆt – остатки при оценивании модели авторегрессии для ряда ût .
    В любом случае, замена S2 на λ̂2 равносильна умножению значения t-статистики,
полученного обычным путем, на S λ̂ .             ( )
    Пример
    Смоделируем систему
    DGP: yt = 2 xt + ut ,
            xt = 1 + xt – 1 + vt ,
где
    ut = 0.4 ut – 1 + 0.2 ut – 2 + εt – стационарный AR(2) ряд,
    εt , νt – гауссовские процессы белого шума, коррелированные в совпадающие моменты
времени: Cov(εt , νt) = 0.8 :

Страницы