Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 241 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 8. Процедура Йохансена
8.1. Оценивание ранга коинтеграции
Пусть I(1) ряды y
1t
, … , y
N t
в совокупности образуют векторный ряд
y
t
= (y
1t
, … , y
N t
)
T
,
следующий модели векторной авторегрессии
VAR(p)
A(L) y
t
= µ + ε
t
,
где
A(L) = A
0
– A
1
L – … – A
p
L
p
,
A
0
, A
1
, … , A
p
– матрицы размера (N ×N),
A
0
= I
N
(единичная матрица),
т.е.
y
t
= µ + A
1
y
t – 1
+ … + A
p
y
t – p
+ ε
t
.
Путем алгебраических преобразований эту модель можно представить также в виде
∆
y
t
= µ + ζ
0
y
t – 1
+ ζ
1
∆y
t – 1
… + ζ
p – 1
∆y
t – p + 1
+ ε
t
,
где
ζ
0
= A
1
+ … + A
p
– I
N
,
ζ
k
= – (A
k+1
+ … + A
p
) , k = 1, 2, … , p – 1.
Заметим, что
ζ
0
= A
1
+ … + A
p
– I
N
= – A(1),
так что rank
ζ
0
= rank A(1).
Мы уже отмечали выше (разд.7.4), что если ряды
y
1t
, … , y
N t
коинтегрированы, то
матрица
A(1) имеет пониженный ранг (rank A(1) < N). Этот же пониженный ранг будет
иметь в этом случае и матрица
ζ
0
. В общем случае, ранг матрицы ζ
0
может принимать
значения
r = rank ζ
0
= 0, 1, … , N .
• Значения r = 1, … , N – 1 соответствуют коинтегрированной VAR (ряды y
1t
, … , y
N
t
~ I(1)
коинтегрированы).
•
Если r = 0 , то ряды y
1t
, … , y
N t
не коинтегрированы.
• Если r = N , то тогда любой N-мерный вектор является коинтегрирующим, так что
коинтегрирующими будут, например, векторы (1, 0, … , 0)
T
, (0, 1, … , 0)
T
, … , (0, 0, …
, 1)
T
. Но это означает, что все ряды y
1t
, … , y
N t
являются стационарными.
Ранг матрицы ζ
0
, r = rank ζ
0
, обычно называют рангом коинтеграции рассматриваемой
системы рядов
y
1t
, … , y
N t
, вне зависимости от того, имеет ли место действительная
коинтеграция этих рядов. 
Глава 8. Процедура Йохансена
8.1. Оценивание ранга коинтеграции
     Пусть I(1) ряды y1t , … , yN t в совокупности образуют векторный ряд
     yt = (y1t , … , yN t)T ,
следующий модели векторной авторегрессии VAR(p)
     A(L) yt = µ + εt ,
где
     A(L) = A0 – A1L – … – ApLp,
     A0 , A1 , … , Ap – матрицы размера (N ×N),
     A0 = IN (единичная матрица),
т.е.
     yt = µ + A1 yt – 1 + … + Ap yt – p + εt .
Путем алгебраических преобразований эту модель можно представить также в виде
     ∆ yt = µ + ζ 0 yt – 1 + ζ 1 ∆yt – 1 … + ζ p – 1 ∆yt – p + 1 + εt ,
где
     ζ 0 = A1 + … + Ap – IN ,
     ζ k = – (A k+1 + … + Ap) , k = 1, 2, … , p – 1.
Заметим, что
     ζ 0 = A1 + … + Ap – IN = – A(1),
так что rank ζ 0 = rank A(1).
     Мы уже отмечали выше (разд.7.4), что если ряды y1t , … , yN t коинтегрированы, то
матрица A(1) имеет пониженный ранг (rank A(1) < N). Этот же пониженный ранг будет
иметь в этом случае и матрица ζ 0 . В общем случае, ранг матрицы ζ 0 может принимать
значения r = rank ζ 0 = 0, 1, … , N .
     • Значения r = 1, … , N – 1 соответствуют коинтегрированной VAR (ряды y1t , … , yN
          t ~ I(1) коинтегрированы).
     • Если r = 0 , то ряды y1t , … , yN t не коинтегрированы.
     • Если r = N , то тогда любой N-мерный вектор является коинтегрирующим, так что
          коинтегрирующими будут, например, векторы (1, 0, … , 0)T, (0, 1, … , 0)T, … , (0, 0, …
          , 1)T . Но это означает, что все ряды y1t , … , yN t являются стационарными.

Ранг матрицы ζ 0 , r = rank ζ 0 , обычно называют рангом коинтеграции рассматриваемой
системы рядов y1t , … , yN t , вне зависимости от того, имеет ли место действительная
коинтеграция этих рядов.

Страницы