Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 242 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Выяснение ранга коинтеграции является ключевым моментом
в построении ECM –
модели коррекции ошибок – по наблюдаемым статистическим данным. Один из возможных
путей решения этой задачи был предложен Йохансеном ([Johansen (1988)], [Johansen (1991)],
[Johansen (1992)], [Johansen (1994)], [Johansen, Juselius (1990)]). Изложение этого метода
требует перехода к гораздо более высокому математическому уровню. Поэтому мы, не
выходя слишком далеко за принятую планку строгости и детальности изложения, дадим
здесь только самое общее представление об этом методе.
Мы уже говорили о том, что если коинтегрированная система I(1) рядов
y
1t
, … , y
N t
может быть представлена в форме VAR c rank A(1) = r , то существует соответствующее
представление VAR в форме ECM. Исходя из этого, Йохансен в качестве отправной точки
берет представление
6
∆
y
t
= µ + ζ
0
y
t – 1
+ ζ
1
∆y
t – 1
… + ζ
p – 1
∆y
t – p + 1
+ ε
t
с матрицей
ζ
0
= α β
T
,
где
α и β – (N × r)-матрицы полного ранга r . При этом столбцы β
(1)
, … , β
(r)
матрицы β
являются линейно независимыми коинтегрирующими векторами, а элементы матрицы α
являются коэффициентами при стационарных линейных комбинациях
z
1, t – 1
= β
T
(1)
y
t – 1
, … , z
r, t – 1
= β
T
(r)
y
t – 1
(представляющих отклонения от
r долговременных соотношений между рядами y
1t
, … , y
N
t
) в правых частях уравнений для ∆y
1t
, … , ∆y
N t
.
В процедуре Йохансена предполагается, что
ε
t
- N-мерный гауссовский белый шум, так
что случайный вектор
ε
t
= (ε
1t
, … , ε
N t
)
T
имеет N -мерное нормальное распределение с
нулевым средним и ковариационной матрицей
Cov(ε
t
) = Ω , и Cov(ε
k t
, ε
j s
) = 0 при t ≠ s для
всех
k , j = 1, … , N .
Прежде, чем применять процедуру Йохансена, следует определиться с порядком
p
векторной авторегрессии, которой следует векторный ряд. Для этой цели можно
использовать стандартные
t- и F-критерии (с асимптотическим N(0, 1) распределением для
t-статистик и асимптотическими χ
2
распределениями для qF) и, применяя их к VAR в
уровнях, порядок которой взят “с запасом”, понизить, по возможности, порядок этой
“избыточной” VAR . Заметим в этой связи, что процедура Йохансена достаточно
чувствительна к выбору порядка VAR , в рамках которой эта процедура реализуется.
Сама процедура начинается с того, что по имеющимся наблюдениям значений
y
1t
, … , y
N
t
, t = 1, … , T , вычисляются максимумы логарифмических функций правдоподобия L(Ω , µ
, ζ
0
, ζ
1
,
… , ζ
p – 1
) для неизвестных параметров Ω , µ , ζ
0
, ζ
1
,
… , ζ
p – 1
при различных
6
Мы ограничиваемся в этой книге системами I(1) рядов. Йохансен рассматривал также и системы,
включающие ряды типа I(2), см. например, [Johansen (1994a)], [Johansen (1994b)], [Johansen (1995b)]. 
      Выяснение ранга коинтеграции является ключевым моментом в построении ECM –
модели коррекции ошибок – по наблюдаемым статистическим данным. Один из возможных
путей решения этой задачи был предложен Йохансеном ([Johansen (1988)], [Johansen (1991)],
[Johansen (1992)], [Johansen (1994)], [Johansen, Juselius (1990)]). Изложение этого метода
требует перехода к гораздо более высокому математическому уровню. Поэтому мы, не
выходя слишком далеко за принятую планку строгости и детальности изложения, дадим
здесь только самое общее представление об этом методе.
      Мы уже говорили о том, что если коинтегрированная система I(1) рядов y1t , … , yN t
может быть представлена в форме VAR c rank A(1) = r , то существует соответствующее
представление VAR в форме ECM. Исходя из этого, Йохансен в качестве отправной точки
берет представление6
      ∆ yt = µ + ζ 0 yt – 1 + ζ 1 ∆yt – 1 … + ζ p – 1 ∆yt – p + 1 + εt
с матрицей
      ζ 0 = α βT ,
где α и β – (N × r)-матрицы полного ранга r . При этом столбцы β(1) , … , β(r) матрицы β
являются линейно независимыми коинтегрирующими векторами, а элементы матрицы α
являются коэффициентами при стационарных линейных комбинациях
       z1, t – 1 = βT(1) yt – 1 , … , zr, t – 1 = βT(r) yt – 1
(представляющих отклонения от r долговременных соотношений между рядами y1t , … , yN
t) в правых частях уравнений для ∆y1t , … , ∆yN t .
      В процедуре Йохансена предполагается, что εt - N-мерный гауссовский белый шум, так
что случайный вектор εt = (ε1t , … , εN t)T имеет N -мерное нормальное распределение с
нулевым средним и ковариационной матрицей Cov(εt) = Ω , и Cov(εk t , εj s) = 0 при t ≠ s для
всех k , j = 1, … , N .
      Прежде, чем применять процедуру Йохансена, следует определиться с порядком p
векторной авторегрессии, которой следует векторный ряд. Для этой цели можно
использовать стандартные t- и F-критерии (с асимптотическим N(0, 1) распределением для
t-статистик и асимптотическими χ2 распределениями для qF) и, применяя их к VAR в
уровнях, порядок которой взят “с запасом”, понизить, по возможности, порядок этой
“избыточной” VAR . Заметим в этой связи, что процедура Йохансена достаточно
чувствительна к выбору порядка VAR , в рамках которой эта процедура реализуется.
      Сама процедура начинается с того, что по имеющимся наблюдениям значений y1t , … , yN
t  , t = 1, … , T , вычисляются максимумы логарифмических функций правдоподобия L(Ω , µ
, ζ 0 , ζ 1 , … , ζ p – 1) для неизвестных параметров Ω , µ , ζ 0 , ζ 1 , … , ζ p – 1 при различных

      6
          Мы ограничиваемся в этой книге системами I(1) рядов. Йохансен рассматривал также и системы,
включающие ряды типа I(2), см. например, [Johansen (1994a)], [Johansen (1994b)], [Johansen (1995b)].

Страницы