Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 244 стр.

                              (    )
                        N
   Lmax ( N ) = −(T 2) ∑ ln 1 − λˆi .
                       i =1
Критерий основывается на статистике

                                                         ∑ ln(1 − λˆ ).
                                                          N
   λ trace (r*) = 2 (Lmax (N) – Lmax (r*)) = − (T 2)                i
                                                       i = r* + 1
Асимптотическое (при T → ∞) распределение этой статистики при гипотезе H0 зависит от r*
и N ; для него также рассчитаны соответствующие таблицы (см., например, [Patterson
(2000), таблицы 14.3 – 14.7], [Enders (1995), таблица B ] или [Hamilton (1994), таблица В.10]).
     Если гипотеза H0: r = r* верна, то значения λˆr* + 1 , … , λ̂ N близки к нулю. Если верна
альтернативная гипотеза, то эти значения отделены от нуля, и значения статистики λ trace (r*)
смещаются в сторону больших положительных значений. Поэтому гипотезу H0: r = r*
следует отвергать в пользу гипотезы HA: r > 1 при больших положительных значениях
статистики λ trace (r*), превышающих соответствующий критический уровень.
     Проблема, однако, в том, что заранее обычно не известно, на какое значение r следует
рассчитывать. В таком случае возникает целое множество альтернативных пар гипотез, при
проверке которых можно получить несогласующиеся результаты. Йохансен предложил
последовательную процедуру проверки гипотез, с помощью которой можно получить
состоятельную оценку истинного ранга коинтеграции.
     Именно, зададимся некоторым уровнем значимости α , скажем, 0.05, и начнем с
проверки гипотезы H0: r = 0 против альтернативы HA: r > 0. Если эта гипотеза не
отвергается, то полагаем rˆ = 0 . В противном случае проверяем гипотезу H0: r = 1 против
альтернативы HA: r > 1. Если гипотеза H0: r = 1 не отвергается, то полагаем r̂ = 1; в
противном случае проверяем гипотезу H0: r = 2 против HA: r > 2 и т.д.
     Полученная оценка r̂ состоятельна в следующем смысле. Если в действительности r =
r0 , то при T → ∞
     P{ r̂ = k } → 0 , k = 0, 1, … , r0 –1,
     P{ r̂ = r0 } → 1 – α .
     Таким образом, оценить ранг коинтеграции можно, по крайней мере, теоретически.
     Однако при обсуждении процедуры Йохансена мы не упомянули еще об одной серьезной
проблеме, стоящей на пути к оцениванию истинного ранга коинтеграции. Дело в том, что
критические значения статистик критериев отношения правдоподобий зависят не только от
r* и N . Они зависят также от того, имеют ли ряды детерминированные тренды, включается
ли константа и/или тренд в коинтеграционное соотношение (коинтеграционное уравнение,
CE – cointegrating equation). В связи с этим, при каждом значении r ранга коинтеграции
можно рассмотреть следующие 5 ситуаций (именно эти ситуации учитываются, например, в
пакете EVIEWS).
     • H2(r): в данных нет детерминированных трендов;