Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 243 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

предположениях о ранге коинтеграции r . С точностью до слагаемых, одинаковых при
различных
r , эти максимумы равны
()
()
, ,,1 ,
ˆ
1ln 2)(
1
max
NrTrL
r
i
i
K=−−=
∑
=
λ
где
N
λλ
ˆ
, ,
ˆ
1
K – некоторые величины, вычисляемые на основании одних только
статистических данных без всяких предположений о ранге коинтеграции, 1 >
1
ˆ
λ
> … >
N
λ
ˆ
>
0
. Сравнивая значения L
max
(r) , полученные при различных r , можно отдать в итоге
предпочтение той или иной гипотезе об истинном ранге коинтеграции. Для формализации
соответствующего решения в виде некоторой статистической процедуры можно
использовать известный из математической статистики критерий отношения правдоподобий
для различения двух гипотез.
Пусть в качестве исходной (“нулевой”) выступает гипотеза H
0
: r = r
*
, а в качестве
альтернативной – гипотеза H
A
: r = r
*
+1. Для различения этих гипотез сравниваются значения
()
()
ˆ
1ln 2)(
*
1
max
∑
=
∗
−−=
r
i
i
TrL
λ
и
()
()
.
ˆ
1ln 2)1(
1 *
1
max
∑
+
=
∗
−−=+
r
i
i
TrL
λ
Критерий основывается на статистике
λ
max
(r
*
) = 2 (L
max
(r
*
+1) – L
max
(r
*
)) = – (T/2) ln (1 –
1 *
ˆ
+r
λ
).
Асимптотическое (при
T → ∞) распределение этой статистики при гипотезе H
0
зависит от r
*
и
N ; для него рассчитаны соответствующие таблицы (см., например, [Patterson (2000),
таблицы 14.3 – 14.7], [Enders (1995), таблица
B ] или [Hamilton (1994), таблица В.11]).
Если гипотеза H
0
: r = r
*
верна, то значения
1 *
ˆ
+r
λ
, … ,
N
λ
ˆ
близки к нулю. Если верна
альтернативная гипотеза, то значение
1 *
ˆ
+r
λ
отделено от нуля, и значения статистики λ
max
(
r
*
) смещаются в сторону больших положительных значений. Поэтому гипотезу H
0
: r = r
*
следует отвергать в пользу гипотезы H
A
: r = r
*
+1 при больших положительных значениях
статистики
λ
max
(r
*
), превышающих соответствующий критический уровень.
Пусть теперь в качестве исходной (“нулевой”) опять выступает гипотеза H
0
: r = r
*
, но в
качестве альтернативной берется гипотеза H
A
: r > r
*
. Для различения этих гипотез
сравниваются значения
()
()
ˆ
1ln 2)(
*
1
max
∑
=
∗
−−=
r
i
i
TrL
λ
и 
предположениях о ранге коинтеграции r . С точностью до слагаемых, одинаковых при
различных r , эти максимумы равны
                                       (           )
                             r
        Lmax (r ) = −(T 2) ∑ ln 1 − λˆi , r = 1,K, N ,
                            i =1

где         λˆ1 , K , λˆN – некоторые величины, вычисляемые на основании одних только
статистических данных без всяких предположений о ранге коинтеграции, 1 > λ̂1 > … > λ̂ N >
0 . Сравнивая значения Lmax (r) , полученные при различных r , можно отдать в итоге
предпочтение той или иной гипотезе об истинном ранге коинтеграции. Для формализации
соответствующего решения в виде некоторой статистической процедуры можно
использовать известный из математической статистики критерий отношения правдоподобий
для различения двух гипотез.
    Пусть в качестве исходной (“нулевой”) выступает гипотеза H0: r = r* , а в качестве
альтернативной – гипотеза HA: r = r*+1. Для различения этих гипотез сравниваются значения
                                           (           )
                                 r*
        Lmax (r ∗ ) = −(T 2 ) ∑ ln 1 − λˆi
                              i =1
и
                                               (           )
                                      r* + 1
        Lmax (r ∗ + 1) = −(T 2 ) ∑ ln 1 − λˆi .
                                       i =1
Критерий основывается на статистике
   λ max (r*) = 2 (Lmax (r*+1) – Lmax (r*)) = – (T/2) ln (1 – λˆr* + 1 ).
Асимптотическое (при T → ∞) распределение этой статистики при гипотезе H0 зависит от r*
и N ; для него рассчитаны соответствующие таблицы (см., например, [Patterson (2000),
таблицы 14.3 – 14.7], [Enders (1995), таблица B ] или [Hamilton (1994), таблица В.11]).
   Если гипотеза H0: r = r* верна, то значения λˆr* + 1 , … , λ̂ N близки к нулю. Если верна
альтернативная гипотеза, то значение λˆ             отделено от нуля, и значения статистики λ max
                                                               r* + 1
(r ) смещаются в сторону больших положительных значений. Поэтому гипотезу H0: r = r*
    *

следует отвергать в пользу гипотезы HA: r = r*+1 при больших положительных значениях
статистики λ max (r*), превышающих соответствующий критический уровень.
    Пусть теперь в качестве исходной (“нулевой”) опять выступает гипотеза H0: r = r* , но в
качестве альтернативной берется гипотеза HA: r > r*. Для различения этих гипотез
сравниваются значения
                                           (           )
                                 r*
        Lmax (r ∗ ) = −(T 2 ) ∑ ln 1 − λˆi
                              i =1
и

Страницы