Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ARMA((1, 4), 1)
X
t
= a
1
X
t–1
+ a
4
X
t–4
+ ε
t
+ b
1
ε
t–1
и ARMA(1, (1,4))
X
t
= a
1
X
t–1
+ ε
t
+ b
1
ε
t–1
+ b
4
ε
t–4
.
Cледующие два графика показывают поведение смоделированных реализаций таких рядов
при
a
1
= 2/3, a
4
= – 1/48, b
4
= 1/5 у первого ряда и при a
1
= 0.4, b
1
= 0.3, b
4
= 0.8 у второго
ряда.
-4
-2
0
2
4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
ARMA((1, 4), 1)
-4
-2
0
2
4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
ARMA(1, (1,4))
Зметим, что для первой модели уравнение a(z) = 0 принимает вид 1– 2/3z + 1/48 z
4
= 0, т.е.
z
4
– 32z + 48 = 0; корни этого уравнения z
1
= 2, z
2
= 2, z
3
= – 2 + i√8, z
4
= – 2 – i√8 лежат вне
единичного круга, что обеспечивает стационарность рассматриваемого процесса. Во второй
модели
a(z) = 0 принимает вид 1 – 0.4 z = 0; корень этого уравнения z = 2.5 > 1, так что и
эта модель стационарна.
Кроме рассмотренных примеров аддитивных сезонных моделей
, употребляются также и
мультипликативные спецификации
, например,
(1–
a
1
L)X
t
= (1+ b
1
L)(1+ b
4
L
4
) ε
t
,
(1–
a
1
L)(1– a
4
L
4
) X
t
= (1+ b
1
L) ε
t
.
Первая дает
X
t
= a
1
X
t–1
+ ε
t
+ b
1
ε
t–1
+ b
4
ε
t–4
+ b
1
b
4
ε
t–5
,
а вторая
X
t
= a
1
X
t–1
+ a
4
X
t–4
– a
1
a
4
X
t–5
+ ε
t
+ b
1
ε
t–1
.
В первой модели допускается взаимодействие составляющих скользящего среднего на лагах
1 и 4 (т.е. значений
ε
t–1
и ε
t–4
), а во второй – взаимодействие авторегрессионных
составляющих на лагах 1 и 4 (т.е. значений
X
t–1
и X
t–4
). Конечно, эти две модели являются
частными случаями аддитивных моделей
X
t
= a
1
X
t–1
+ ε
t
+ b
1
ε
t–1
+ b
4
ε
t–4
+ b
5
ε
t–5
,
X
t
= a
1
X
t–1
+ a
4
X
t–4
+ a
5
X
t–5
+ ε
t
+ b
1
ε
t–1
c
b
5
= b
1
b
4
, a
5
= – a
1
a
4
. При приближенном выполнении последних соотношений (по
крайней мере, если гипотезы о наличии таких соотношений не отвергаются), естественно 
ARMA((1, 4), 1)
   Xt = a1 Xt–1 + a4 Xt–4 + εt + b1 εt–1
и ARMA(1, (1,4))
   Xt = a1 Xt–1 + εt + b1 εt–1+ b4 εt–4 .

Cледующие два графика показывают поведение смоделированных реализаций таких рядов
при a1 = 2/3, a4 = – 1/48, b4 = 1/5 у первого ряда и при a1 = 0.4, b1 = 0.3, b4 = 0.8 у второго
ряда.
 4                                                         4



 2                                                         2



 0                                                         0



-2                                                         -2



-4                                                         -4
     10   20   30   40     50    60   70   80   90   100        10   20   30   40     50   60   70   80   90   100

                         ARMA((1, 4), 1)                                            ARMA(1, (1,4))


Зметим, что для первой модели уравнение a(z) = 0 принимает вид 1– 2/3z + 1/48 z4 = 0, т.е.
z4 – 32z + 48 = 0; корни этого уравнения z1 = 2, z2 = 2, z3 = – 2 + i√8, z4 = – 2 – i√8 лежат вне
единичного круга, что обеспечивает стационарность рассматриваемого процесса. Во второй
модели a(z) = 0 принимает вид 1 – 0.4 z = 0; корень этого уравнения z = 2.5 > 1, так что и
эта модель стационарна.
    Кроме рассмотренных примеров аддитивных сезонных моделей, употребляются также и
мультипликативные спецификации, например,
    (1– a1L)Xt = (1+ b1L)(1+ b4L4) εt ,
    (1– a1L)(1– a4L4) Xt = (1+ b1L) εt .
Первая дает
    Xt = a1 Xt–1 + εt + b1 εt–1+ b4 εt–4 + b1b4 εt–5 ,
а вторая
    Xt = a1 Xt–1 + a4 Xt–4 – a1a4 Xt–5 + εt + b1 εt–1 .
В первой модели допускается взаимодействие составляющих скользящего среднего на лагах
1 и 4 (т.е. значений εt–1 и εt–4), а во второй – взаимодействие авторегрессионных
составляющих на лагах 1 и 4 (т.е. значений Xt–1 и Xt–4 ). Конечно, эти две модели являются
частными случаями аддитивных моделей
    Xt = a1 Xt–1 + εt + b1 εt–1+ b4 εt–4 + b5 εt–5 ,
    Xt = a1 Xt–1 + a4 Xt–4 + a5 Xt–5 + εt + b1 εt–1
c b5 = b1b4 , a5 = – a1a4 . При приближенном выполнении последних соотношений (по
крайней мере, если гипотезы о наличии таких соотношений не отвергаются), естественно

Страницы