Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

d(L)(X
t
–
µ
) = ε
t
,
где
d(z) = −1 .
)(
)(
1
zb
za
zd
j
j
j
=
∑
∞
=
Отсюда вытекает, что стационарный процесс ARMA(
p, q) всегда можно
аппроксимировать процессом скользящего среднего достаточно высокого порядка, а при
выполнении условия обратимости его можно также аппроксимировать процессом
авторегрессии достаточно высокого порядка.
Специфику формы коррелограммы процесса ARMA(
p, q) в общем случае указать
труднее, чем для моделей AR(
p) и MA(q). Отметим только, что для значений k > q
коррелограмма процесса a(L) X
t
= b(L) ε
t
выглядит так же, как и коррелограмма процесса
авторегрессии
a(L) X
t
= ε
t
. Так, для процесса ARMA(1, 1)
ρ(k) = a
1
ρ(k –1) для k = 2, 3, … ,
как и у процесса
X
t
= a
1
X
t–1
+ ε
t
. При этом, однако, ρ(1) ≠ a
1
.
Предпосылкой для обоснования использования моделей ARMA является следующий
факт. Если ARMA(
p
1
, q
1
) ряд X
t
и ARMA(p
2
, q
2
) ряд Y
t
статистически независимы между
собой, и
Z
t
= X
t
+ Y
t
, то типичным является положение, когда Z
t
является ARMA(p, q)
рядом, у которого
p = p
1
+ p
2
,
q = p
1
+ q
2
, если p
1
+ q
2
> p
2
+ q
1
,
q = p
2
+ q
1
, если p
2
+ q
1
> p
1
+ q
2
.
Возможны также ситуации, когда значения
p и q оказываются меньше указанных значений.
(Такие ситуации возникают в случаях, когда многочлены
a
X
(z) и a
Y
(z) , соответствующие
авторегрессионным частям процессов
X
t
и Y
t
, имеют общие корни.)
В частном случае, когда оба ряда имеют тип AR(1), но с различными параметрами, их
сумма имеет тип ARMA(2, 1).
В экономике многие временные ряды являются агрегированными. Из указанного выше
факта вытекает, что если каждая из компонент отвечает простой модели AR, то при
независимости этих компонент их сумма будет ARMA процессом. Такого же рода процесс
мы получим, если часть компонент имеет тип AR, а остальные компоненты имеют тип MA.
Единственным исключением является случай, когда все компоненты являются MA
процессами – в этом случае в результате получаем MA процесс.
Предположим, наконец, что “истинный ” экономический ряд отвечает AR(
p) модели, но
значения этого ряда измеряются со случайными ошибками, образующими процесс белого
шума (т.е. MA(0)). Тогда наблюдаемый ряд имеет тип ARMA(
p, p).
Замечание
               d(L)(Xt –µ) = εt ,
         где
                            ∞
                                     a( z )
               d(z) = 1 −   ∑d
                         j =1
                                 j   zj =
                                     b( z )
                                            .

   Отсюда вытекает, что стационарный процесс ARMA(p, q) всегда можно
аппроксимировать процессом скользящего среднего достаточно высокого порядка, а при
выполнении условия обратимости его можно также аппроксимировать процессом
авторегрессии достаточно высокого порядка.
   Специфику формы коррелограммы процесса ARMA(p, q) в общем случае указать
труднее, чем для моделей AR(p) и MA(q). Отметим только, что для значений k > q
коррелограмма процесса a(L) Xt = b(L) εt выглядит так же, как и коррелограмма процесса
авторегрессии a(L) Xt = εt . Так, для процесса ARMA(1, 1)
   ρ(k) = a1 ρ(k –1) для k = 2, 3, … ,
как и у процесса Xt = a1 Xt–1 + εt . При этом, однако, ρ(1) ≠ a1 .
   Предпосылкой для обоснования использования моделей ARMA является следующий
факт. Если ARMA(p1, q1) ряд Xt и ARMA(p2, q2) ряд Yt статистически независимы между
собой, и Zt = Xt + Yt , то типичным является положение, когда Zt является ARMA(p, q)
рядом, у которого
   p = p1 + p2 ,
   q = p1 + q2 , если p1 + q2 > p2 + q1 ,
   q = p2 + q1 , если p2 + q1 > p1 + q2 .
Возможны также ситуации, когда значения p и q оказываются меньше указанных значений.
(Такие ситуации возникают в случаях, когда многочлены aX(z) и aY(z) , соответствующие
авторегрессионным частям процессов Xt и Yt , имеют общие корни.)
   В частном случае, когда оба ряда имеют тип AR(1), но с различными параметрами, их
сумма имеет тип ARMA(2, 1).
   В экономике многие временные ряды являются агрегированными. Из указанного выше
факта вытекает, что если каждая из компонент отвечает простой модели AR, то при
независимости этих компонент их сумма будет ARMA процессом. Такого же рода процесс
мы получим, если часть компонент имеет тип AR, а остальные компоненты имеют тип MA.
Единственным исключением является случай, когда все компоненты являются MA
процессами – в этом случае в результате получаем MA процесс.
   Предположим, наконец, что “истинный ” экономический ряд отвечает AR(p) модели, но
значения этого ряда измеряются со случайными ошибками, образующими процесс белого
шума (т.е. MA(0)). Тогда наблюдаемый ряд имеет тип ARMA(p, p).

   Замечание

Страницы