Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2.5. Смешанный процесс авторегрессии – скользящего среднего
(процесс авторегрессии с остатками в виде скользящего
среднего)
Процесс X
t
с нулевым математическим ожиданием, принадлежащий такому классу
процессов, характеризуется порядками
p и q его AR и МA составляющих и обозначается
как процесс
ARMA(p, q) (autoregressive moving average, mixed autoregressive moving
average). Более точно, процесс X
t
с нулевым математическим ожиданием принадлежит
классу ARMA(
p, q), если
X
t
=
∑
=
p
j
j
a
1
X
t – j
+
∑
=
q
j
j
b
0
ε
t – j
, a
p
≠ 0 , b
q
≠ 0 ,
где ε
t
– процесс белого шума и b
0
= 1. В операторной форме последнее соотношение имеет
вид
a(L) X
t
= b(L) ε
t
,
где
a(L) и b(L) имеют тот же вид, что и в определенных ранее моделях AR(p) и MA(q). Если
процесс имеет постоянное математическое ожидание
µ
, то он является процессом типа
ARMA(
p, q), если
X
t
–
µ
=
∑
=
p
j
j
a
1
(X
t – j
–
µ
) +
∑
=
q
j
j
b
0
ε
t – j
.
Отметим следующие свойства процесса ARMA(p, q) с E(X
t
) =
µ
.
• Процесс стационарен, если все корни уравнения a(z) = 0 лежат вне единичного
круга
z ≤ 1.
• Если процесс стационарен, то существует эквивалентный ему процесс MA(∞)
X
t
–
µ
=
∑
∞
= 0 j
j
c ε
t – j
, c
0
= 1, ,
0
∞<
∑
∞
=j
j
c
или
X
t
–
µ
= c(L) ε
t
,
где
c(z) =
.
)(
)(
0
∑
∞
=
=
j
j
j
za
zb
zc
• Если все корни уравнения b(z) = 0 лежат вне единичного круга z ≤ 1 (условие
обратимости), то существует эквивалентное представление процесса X
t
в виде
процесса авторегрессии бесконечного порядка AR(∞)
X
t
–
µ
=
∑
∞
=1 j
j
d (X
t – j
–
µ
) + ε
t
,
или 
 2.5. Смешанный процесс авторегрессии – скользящего среднего
(процесс авторегрессии с остатками в виде скользящего
среднего)
   Процесс Xt с нулевым математическим ожиданием, принадлежащий такому классу
процессов, характеризуется порядками p и q его AR и МA составляющих и обозначается
как процесс ARMA(p, q) (autoregressive moving average, mixed autoregressive moving
average). Более точно, процесс Xt с нулевым математическим ожиданием принадлежит
классу ARMA(p, q), если
           p                        q
   Xt =   ∑a
          j =1
                 j   Xt – j +      ∑b
                                   j =0
                                           j   εt – j ,         ap ≠ 0 , bq ≠ 0 ,

где εt – процесс белого шума и b0 = 1. В операторной форме последнее соотношение имеет
вид
   a(L) Xt = b(L) εt ,
где a(L) и b(L) имеют тот же вид, что и в определенных ранее моделях AR(p) и MA(q). Если
процесс имеет постоянное математическое ожидание µ , то он является процессом типа
ARMA(p, q), если
                     p                                     q
   Xt – µ =      ∑ a j (Xt – j – µ) +
                 j =1
                                                          ∑b
                                                          j=0
                                                                j   εt – j .

   Отметим следующие свойства процесса ARMA(p, q) с E(Xt) = µ .
      • Процесс стационарен, если все корни уравнения a(z) = 0 лежат вне единичного
         круга z ≤ 1.
      • Если процесс стационарен, то существует эквивалентный ему процесс MA(∞)
                                          ∞                                    ∞
                         Xt – µ =         ∑c
                                          j =0
                                                     j   εt – j , c0 = 1,      ∑
                                                                               j =0
                                                                                      cj < ∞ ,

               или
                         Xt – µ = c(L) εt ,
               где
                                   ∞
                                 b( z )
                         c( z) =
                         j =0
                                   ∑c z
                                 a( z )
                                        .  j
                                                 j
                                                     =

      •        Если все корни уравнения b(z) = 0 лежат вне единичного круга z ≤ 1 (условие
               обратимости), то существует эквивалентное представление процесса Xt в виде
               процесса авторегрессии бесконечного порядка AR(∞)
                                          ∞
                         Xt – µ =         ∑d
                                          j =1
                                                     j   (Xt – j – µ) + εt ,

            или

Страницы