Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ρ
k
=
++=
=
∑∑
=
+
−
=
. ,2 1, , 0
, ,1, ,0 ,
0
2
0
K
K
qqk
qkbbb
q
j
jkj
kq
j
j
Здесь статистическая связь между наблюдениями сохраняется в течение q единиц времени
(т.е. “длительность памяти” процесса равна q).
Подобного рода временные ряды соответствуют ситуации, когда некоторый
экономический показатель находится в равновесии, но отклоняется от положения
равновесия в силу последовательно возникающих непредсказуемых событий, причем
система такова, что влияние таких событий отмечается на протяжении некоторого периода
времени.
Если влияние прошлых событий ослабевает с течением времени показательным образом,
так что b
j
=
j
a
, 0 < a < 1, то искусственное предположение о том, что ряд ε
t
начинается в
“бесконечном прошлом”, приводит к модели бесконечного скользящего среднего
MA(∞)
X
t
=
∑
∞
= 0 j
j
a
ε
t – j
=
∑
∞
=
−
0
j
jtj
b
ε
, где
.
0
∞<
∑
∞
=j
j
b
Ранее мы видели, что такое же представление допускает стационарный процесс
авторегрессии первого порядка AR(1)
X
t
= a X
t–1
+ ε
t
, a < 1,
т.е. в рассматриваемом случае процесс MA(∞) эквивалентен
процессу AR(1).
Вообще, всякий стационарный процесс AR(p) можно записать в форме процесса MA(∞):
X
t
= µ +
)(
1
La
ε
t
= µ +
∑
∞
= 0 j
j
b ε
t – j
= µ + b(L) ε
t
,
где
b(L) =
∑
∞
= 0 j
j
b L
j
=
)(
1
La
и
.
0
∞<
∑
∞
=j
j
b
Примеры.
a)
Рассмотрим процесс MA(1) с b = 0.8 и E(X
t
) = 6 , т.е.
X
t
= 6 + ε
t
+ 0.8 ε
t–1
.
Для него ρ(1) = 0.8/(1+ 0.8
2
) = 0.488.
b)
Для процесса MA(1) с b = – 0.8 и E(X
t
) = 6 имеем
ρ(1) = – 0.8/(1+0.8
2
) = – 0.488.
Коррелограммы этих двух процессов имеют вид 
          q−k               q 2
          ∑
                 b b         ∑ b  , k = 0, 1, K, q ,
    ρk =  j = 0 j j + k   j = 0 j 
         
                 0,                 k = q + 1, q + 2, K .
Здесь статистическая связь между наблюдениями сохраняется в течение q единиц времени
(т.е. “длительность памяти” процесса равна q).
    Подобного рода временные ряды соответствуют ситуации, когда некоторый
 экономический показатель находится в равновесии, но отклоняется от положения
 равновесия в силу последовательно возникающих непредсказуемых событий, причем
 система такова, что влияние таких событий отмечается на протяжении некоторого периода
 времени.
    Если влияние прошлых событий ослабевает с течением времени показательным образом,
так что bj = a j , 0 < a < 1, то искусственное предположение о том, что ряд εt начинается в
“бесконечном прошлом”, приводит к модели бесконечного скользящего среднего MA(∞)
          ∞                 ∞                    ∞
   Xt =   ∑ a j εt – j =
          j=0
                           ∑ b jε t− j ,
                           j =0
                                           где   ∑b
                                                 j =0
                                                        j   < ∞.


Ранее мы видели, что такое же представление допускает стационарный процесс
авторегрессии первого порядка AR(1)
    Xt = a Xt–1 + εt , a < 1,
т.е. в рассматриваемом случае процесс MA(∞) эквивалентен процессу AR(1).
    Вообще, всякий стационарный процесс AR(p) можно записать в форме процесса MA(∞):
                               ∞
                1
    Xt = µ +         εt = µ + ∑ b j εt – j = µ + b(L) εt ,
              a ( L)          j=0

где
              ∞                          ∞
                            1
     b(L) = ∑ b j L j =           и ∑ bj < ∞ .
            j =0          a( L)         j=0




   Примеры.
   a) Рассмотрим процесс MA(1) с b = 0.8 и E(Xt) = 6 , т.е.
   Xt = 6 + εt + 0.8 εt–1 .
Для него ρ(1) = 0.8/(1+ 0.82) = 0.488.
   b) Для процесса MA(1) с b = – 0.8 и E(Xt) = 6 имеем
   ρ(1) = – 0.8/(1+0.82) = – 0.488.
Коррелограммы этих двух процессов имеют вид

Страницы