Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

D(X
t
) = (1 + b
2
)
σ
ε
2
, E [(X
t
–
µ
)(X
t–1
–
µ
)] = b
σ
ε
2
, E [(X
t
–
µ
)(X
t–k
–
µ
)] = 0, k > 1,
так что процесс X
t
является стационарным с
E(X
t
) = 0 , D(X
t
) = (1 + b
2
)
σ
ε
2
,
γ
(k) =
()
. 1 , 0
, 1 ,
, 0 , 1
2
22
>
=
=+
k
kb
kb
ε
ε
σ
σ
Автокорреляции этого процесса равны
ρ(k) =
, 1 , 0
, 1 , )1(
, 0 , 1
2
>
=+
=
k
kbb
k
т.е. коррелограмма процесса имеет весьма специфический вид. Коррелированными
оказываются только соседние
наблюдения. Корреляция между ними положительна, если b >
0, и отрицательна при b < 0. Соответственно, процесс MA(1) с b > 0 имеет более гладкие, по
сравнению с белым шумом, реализации, а процесс MA(1) с b < 0 имеет менее гладкие, по
сравнению с белым шумом, реализации. Заметим, что для любого процесса MA(1)
ρ(1) ≤ 0.5 ,
т.е. корреляционная связь между соседними наблюдениями невелика, тогда как у процесса
AR(1) такая связь может быть сколь угодно сильной (при значениях a , близких к 1).
Модель MA(q) кратко можно записать в виде
X
t
–
µ
= b(L) ε
t
,
где
b(L) = 1 + b
1
L + … + b
q
L
q
.
Для нее
γ
(k) = E [(X
t
–
µ
)(X
t–k
–
µ
)] =
>
≤≤
+
−
=
∑
, , 0
, 0 ,
2
0
qk
qkbb
kj
kq
j
j
ε
σ
так что MA(q) является стационарным процессом с нулевым математическим ожиданием,
дисперсией
σ
X
2
= (1 + b
1
2
+ … + b
q
2
)
σ
ε
2
и автокорреляциями 
    D(Xt) = (1 + b2)σε2 , E [(Xt – µ)(Xt–1 – µ)] = bσε2 , E [(Xt – µ)(Xt–k – µ)] = 0, k > 1,
так что процесс Xt является стационарным с
    E(Xt) = 0 , D(Xt) = (1 + b2)σε2 ,

              (      )
            1 + b 2 σ ε2 , k = 0 ,
           
   γ (k) = bσ ε2 ,         k = 1,
           0 ,             k > 1.
           
Автокорреляции этого процесса равны

           1 ,            k = 0,
           
    ρ(k) = b (1 + b 2 ) , k = 1 ,
           0 ,            k > 1,
           
т.е. коррелограмма процесса имеет весьма специфический вид. Коррелированными
оказываются только соседние наблюдения. Корреляция между ними положительна, если b >
0, и отрицательна при b < 0. Соответственно, процесс MA(1) с b > 0 имеет более гладкие, по
сравнению с белым шумом, реализации, а процесс MA(1) с b < 0 имеет менее гладкие, по
сравнению с белым шумом, реализации. Заметим, что для любого процесса MA(1)
     ρ(1) ≤ 0.5 ,
т.е. корреляционная связь между соседними наблюдениями невелика, тогда как у процесса
AR(1) такая связь может быть сколь угодно сильной (при значениях a , близких к 1).
    Модель MA(q) кратко можно записать в виде
    Xt – µ = b(L) εt ,
где
    b(L) = 1 + b1L + … + bq Lq .
Для нее
                                      q−k              2
                                      ∑ b j b j + k σ ε , 0 ≤ k ≤ q ,
    γ (k) = E [(Xt – µ)(Xt–k – µ)] =  j = 0           
                                     
                                             0,               k >q,
так что MA(q) является стационарным процессом с нулевым математическим ожиданием,
дисперсией
    σX2 = (1 + b12 + … + bq2)σε2
и автокорреляциями

Страницы