Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 27 стр.

Сравним поведение коррелограмм стационарного процесса AR(1) при a = ±0.8 :
1.0                                          1.5


0.8                                          1.0


0.6                                          0.5


0.4                                          0.0


0.2                                          -0.5


0.0                                          -1.0
      5   10   15       20    25   30   35          5   10   15    20     25   30   35

                    a = 0.8                                   a = - 0.8


    Коррелограмма процесса AR(p) при p > 1 имеет более сложную форму, зависящую от
расположения (на комплексной плоскости) корней уравнения a(z) = 0. Однако для больших
значений k автокорреляция ρ(k) хорошо аппроксимируется значением Aθk, где θ = 1/zmin и
zmin – наименьший по абсолютной величине корень уравнения a(z) = 0, если этот корень
является вещественным и положительным, или заключена в интервале ± A θ k в противном
случае. Здесь A > 0 – некоторая постоянная, определяемая коэффициентами a1 , … , ap .
    Если умножить на Xt–k (k >0) обе части соотношения, определяющего процесс AR(p), и
после этого взять от обеих частей математическое ожидание, то получим соотношение
     γ (k) = a1 γ (k–1) + a2 γ (k–2) + … + ap γ (k–p) , k > 0 .
Разделив обе части последнего на γ (0), приходим к системе уравнений Юла–Уокера
     ρ(k) = a1 ρ(k–1) + a2 ρ(k–2) + … + ap ρ(k–p) , k > 0 .
Эта система позволяет последовательно находить значения автокорреляций и дает
возможность, используя первые p уравнений, выразить коэффициенты aj через значения
первых p автокорреляций, что можно непосредственно использовать при подборе модели
авторегрессии к реальным статистическим данным (см.разделы 3.1 и 3.2).

    Пример. Рассмотрим процесс авторегрессии AR(2)
    Xt = 4.375 + 0.25Xt–1 – 0.125Xt–2 + εt .
Уравнение a(z) = 0 принимает в этом случае вид
    1 – 0.25z + 0.125z2 = 0, или z2 – 2z + 8 = 0,
и имеет корни z 1,2 = 1± i √7 . Оба корня по абсолютной величине больше единицы, так что
процесс стационарный. Математическое ожидание этого процесса равно
    µ = δ / (1– a1 – a2) = 4.375/(1– 0.25 + 0.125) = 5,
так что траектории этого процесса флуктуируют вокруг уровня 5.
    Для построения коррелограммы воспользуемся уравнениями Юла – Уокера . У нас p = 2,
так что
    ρ(k) = 0.25 ρ(k–1) – 0.125 ρ(k–2), k > 0 .