Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

где
a(L) = 1– (a
1
L + a
2
L
2
+ … + a
p
L
p
).
Для того, чтобы такой процесс был стационарным, все корни алгебраического уравнения
a(z) = 0
(вещественные и комплексные) должны лежать вне единичного круга
z ≤ 1. (В частности,
для процесса AR(1) имеем a(z) = 1– a z , уравнение a(z) = 0 имеет корень z = 1/a , и условие
стационарности z > 1 равносильно уже знакомому нам условию a < 1. ) При этом решение
уравнения a(L) X
t
= ε
t
можно представить в виде
X
t
=
)(
1
La
ε
t
=
∑
∞
=
−
0
j
jtj
b
ε
, где ,
0
∞<
∑
∞
=j
j
b
откуда, в частности, следует, что
E(X
t
) =
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
==
0
0
. 0)(
j
jtj
j
jtj
EbbE
εε
Стационарный процесс AR(p) с ненулевым
математическим ожиданием
µ
удовлетворяет
соотношению
a(L) ( X
t
–
µ
) = ε
t
,
или
a(L) X
t
= δ + ε
t
,
где
δ = a(L)
µ
=
µ
(1 – a
1
– a
2
– …– a
p
) =
µ
a(1).
При этом решение уравнения a(L) ( X
t
–
µ
) = ε
t
имеет вид
X
t
=
µ
+
)(
1
La
ε
t
.
Таким образом, если стационарный процесс AR(p) задан в виде a(L) X
t
= δ + ε
t
, то следует
помнить о том, что в этом случае математическое ожидание этого процесса равно не δ, а
.
) 1(
21 p
aaa −−−−
=
K
δ
µ
Для процесса AR(1) имеем a(L) = 1– aL , так что (вне зависимости от того, равно
µ
нулю
или нет)
X
t
–
µ
= (1/ (1– aL)) ε
t
= (1 + aL + a
2
L
2
+ … ) ε
t
= ε
t
+ aε
t–1
+ a
2
ε
t–2
+ … .
Из последнего выражения сразу видно, что
ρ(k) = Corr(X
t
, X
t+k
) = a
k
, k = 0, 1, 2, … .
При 0 < a < 1 коррелограмма (график функции ρ(k) для k = 0, 1, 2, … ) отражает
показательное убывание корреляций с возрастанием интервала между наблюдениями; при –
1 < a < 0 коррелограмма имеет характер затухающей косинусоиды. 
где
    a(L) = 1– (a1L + a2 L2 + … + ap Lp).
Для того, чтобы такой процесс был стационарным, все корни алгебраического уравнения
    a(z) = 0
(вещественные и комплексные) должны лежать вне единичного круга z ≤ 1. (В частности,
для процесса AR(1) имеем a(z) = 1– a z , уравнение a(z) = 0 имеет корень z = 1/a , и условие
стационарности z > 1 равносильно уже знакомому нам условию a < 1. ) При этом решение
уравнения a(L) Xt = εt можно представить в виде
                         ∞                                ∞
            1
    Xt =         εt = ∑ b j ε t − j , где               ∑    bj < ∞ ,
          a ( L)        j =0                            j =0

откуда, в частности, следует, что
                ∞               ∞
    E(Xt) = E  ∑ b j ε t − j  = ∑ b j E (ε t − j ) = 0 .
                j =0            j =0
Стационарный процесс AR(p) с ненулевым математическим ожиданием µ удовлетворяет
соотношению
    a(L) ( Xt – µ ) = εt ,
или
    a(L) Xt = δ + εt ,
где
    δ = a(L)µ = µ (1 – a1 – a2 – …– ap) = µ a(1).
При этом решение уравнения a(L) ( Xt – µ ) = εt имеет вид
                  1
    Xt = µ +          εt .
               a( L)
Таким образом, если стационарный процесс AR(p) задан в виде a(L) Xt = δ + εt , то следует
помнить о том, что в этом случае математическое ожидание этого процесса равно не δ, а
                      δ
      µ=                               .
           (1 − a1 − a 2 − K − a p )

    Для процесса AR(1) имеем a(L) = 1– aL , так что (вне зависимости от того, равно µ нулю
или нет)
    Xt – µ = (1/ (1– aL)) εt = (1 + aL + a2L2 + … ) εt = εt + aεt–1+ a2εt–2 + … .
Из последнего выражения сразу видно, что
    ρ(k) = Corr(Xt , Xt+k) = a k , k = 0, 1, 2, … .
При 0 < a < 1 коррелограмма (график функции ρ(k) для k = 0, 1, 2, … ) отражает
показательное убывание корреляций с возрастанием интервала между наблюдениями; при –
1 < a < 0 коррелограмма имеет характер затухающей косинусоиды.

Страницы