Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X
x0=2; a=0.9
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X
x0=0; a=0.9
Рассмотренную только что модель X
t
= a X
t–1
+ ε
t
называют процессом авторегрессии
первого порядка. Процесс авторегрессии порядка p (в кратком обозначении – AR(p))
определяется соотношениями
X
t
= a
1
X
t–1
+ a
2
X
t–2
+ … + a
p
X
t–p
+ ε
t
, a
p
≠ 0,
где ε
t
– процесс белого шума с D(ε
t
) =
σ
ε
2
. Для простоты мы будем теперь сразу полагать,
что Cov(X
t–s
, ε
t
) = 0 для всех s > 0; при этом говорят, что случайные величины ε
t
образуют
инновационную (обновляющую) последовательность, а случайная величина ε
t
называется
инновацией для наблюдения в момент t . Такая терминология объясняется тем, что
наблюдаемое значение ряда в момент t получается здесь как линейная комбинация p
предшествующих значений этого ряда плюс не коррелированная с этими предшествующими
значениями случайная составляющая ε
t
, отражающая обновленную информацию, скажем, о
состоянии экономики, на момент t , влияющую на наблюдаемое значение X
t
.
При рассмотрении процессов авторегрессии и некоторых других моделей удобно
использовать
оператор запаздывания L (lag operator), который воздействует на временной
ряд и определяется соотношением
L X
t
= X
t–1
;
в некоторых руководствах его называют оператором обратного сдвига и используют для него
обозначение B (backshift operator).
Если оператор запаздывания применяется k раз, что обозначается как L
k
, то это дает в
результате
L
k
X
t
= X
t–k
.
Выражение
a
1
X
t–1
+ a
2
X
t–2
+ … + a
p
X
t–p
можно записать теперь в виде
(a
1
L + a
2
L
2
+ … + a
p
L
p
) X
t
,
а соотношение, определяющее процесс авторегрессии p-го порядка, в виде
a(L) X
t
= ε
t
, 
                      x0=2; a=0.9                                                   x0=0; a=0.9
2.5                                                           2.5


2.0                                                           2.0


1.5                                                           1.5


1.0                                                           1.0


0.5                                                           0.5


0.0                                                           0.0


-0.5                                                          -0.5
       10   20   30   40   50       60   70   80   90   100          10   20   30   40   50       60   70   80   90   100

                                X                                                             X




    Рассмотренную только что модель Xt = a Xt–1 + εt называют процессом авторегрессии
первого порядка. Процесс авторегрессии порядка p (в кратком обозначении – AR(p))
определяется соотношениями
    Xt = a1 Xt–1 + a2 Xt–2 + … + ap Xt–p + εt , ap ≠ 0,
 где εt – процесс белого шума с D(εt) = σε2 . Для простоты мы будем теперь сразу полагать,
что Cov(Xt–s, εt) = 0 для всех s > 0; при этом говорят, что случайные величины εt образуют
инновационную (обновляющую) последовательность, а случайная величина εt называется
инновацией для наблюдения в момент t . Такая терминология объясняется тем, что
наблюдаемое значение ряда в момент t получается здесь как линейная комбинация p
предшествующих значений этого ряда плюс не коррелированная с этими предшествующими
значениями случайная составляющая εt , отражающая обновленную информацию, скажем, о
состоянии экономики, на момент t , влияющую на наблюдаемое значение Xt .
   При рассмотрении процессов авторегрессии и некоторых других моделей удобно
использовать оператор запаздывания L (lag operator), который воздействует на временной
ряд и определяется соотношением
    L Xt = Xt–1 ;
в некоторых руководствах его называют оператором обратного сдвига и используют для него
обозначение B (backshift operator).
    Если оператор запаздывания применяется k раз, что обозначается как Lk , то это дает в
результате
    Lk Xt = Xt–k .
Выражение
    a1 Xt–1 + a2 Xt–2 + … + ap Xt–p
можно записать теперь в виде
    (a1L + a2 L2 + … + ap Lp) Xt ,
а соотношение, определяющее процесс авторегрессии p-го порядка, в виде
    a(L) Xt = εt ,

Страницы