Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Cov(
t
X
~
,
τ
~
+t
X ) =
()
,
1
2
2
0
22
0
0
a
aEaaaaE
k
kt
k
k
kt
k
k
kt
k
−
=
=
∑∑∑
∞
=
−
∞
=
−+
∞
=
−
ε
ττ
τ
σ
εεε
так что
t
X
~
– стационарный ряд (в широком смысле). Кроме того,
,
1
~
1
1
∑
∞
=
−−
=
k
kt
k
t
a
a
X
ε
так что
,
~
~
0
1 t
k
kt
k
tt
XaXa ==+
∑
∞
=
−−
εε
т.е.
t
X
~
удовлетворяет соотношению
.
~
~
1 ttt
XaX
ε
+=
−
Поскольку ε
t
не входит в правую часть выражений для
1
~
−t
X ,
2
~
−t
X , ... , то случайная
величина ε
t
не коррелирована с
1
~
−t
X ,
2
~
−t
X , … , т.е. ε
t
является инновацией (обновлением).
В итоге получаем, что
t
X
~
– стационарный процесс авторегрессии первого порядка, и
фактически именно этот процесс имеется в виду, когда говорят о стационарном процессе
AR(1).
Проиллюстрируем сказанное выше с помощью смоделированных реализаций ряда x
t
,
порожденных моделью X
t
= a X
t–1
+ ε
t
с
σ
ε
= 0.2 и различными значениями коэффициента
a и стартового значения x
0
.
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X
x0=2; a=0.5
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X
x0=0; a1=0.5
                              ∞              ∞                         ∞                         σ ε2
         ~ ~
    Cov( X t , X t + τ ) = E  ∑ a k ε t − k  ∑ a k ε t + τ − k  = a τ  ∑ a 2 k E ε t2− k  = a τ
                                                                                                        1− a2
                                                                                                              ,       ( )
                              k = 0          k = 0                    k =0               
         ~
так что X t – стационарный ряд (в широком смысле). Кроме того,
     ~        1 ∞
    X t − 1 = ∑ a k ε t −k ,
              a k =1
так что
                     ∞
      ~                             ~
    aX t − 1 + ε t = ∑ a k ε t −k = X t ,
                           k =0
     ~
т.е. X t удовлетворяет соотношению
     ~      ~
     X t = aX t − 1 + ε t .
                                                                     ~     ~
Поскольку εt    не входит в правую часть выражений для X t − 1 , X t − 2 , ... , то случайная
                               ~         ~
величина εt не коррелирована с X t − 1 , X t − 2 , … , т.е. εt является инновацией (обновлением).
                        ~
В итоге получаем, что X t – стационарный процесс авторегрессии первого порядка, и
фактически именно этот процесс имеется в виду, когда говорят о стационарном процессе
AR(1).

   Проиллюстрируем сказанное выше с помощью смоделированных реализаций ряда xt,
порожденных моделью Xt = a Xt–1 + εt с σε = 0.2 и различными значениями коэффициента
a и стартового значения x0.
                      x0=2; a=0.5                                                   x0=0; a1=0.5
2.5                                                           2.5


2.0                                                           2.0


1.5                                                           1.5


1.0                                                           1.0


0.5                                                           0.5


0.0                                                           0.0


-0.5                                                          -0.5
       10   20   30   40   50       60   70   80   90   100          10   20   30   40   50       60   70   80   90   100

                                X                                                             X

Страницы