Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Продолжая рассмотрение для ранее определенного процесса X
t
(с нулевым
математическим ожиданием), заметим, что для него
γ
(1) = E(X
t
·X
t–1
) = E [(a X
t–1
+ ε
t
) ·X
t–1
] = a
γ
(0),
так что
ρ(1) =
γ
(1) ⁄
γ
(0) = a ,
и при значениях
a > 0, близких к 1, между соседними наблюдениями имеется сильная
положительная корреляция, что обеспечивает более гладкий характер поведения траекторий
ряда по сравнению с процессом белого шума. При
a < 0 процесс авторегрессии, напротив,
имеет менее гладкие реализации, поскольку в этом случае проявляется тенденция
чередования знаков последовательных наблюдений. Следующие два графика демонстрируют
поведение смоделированных реализаций временных рядов, порожденных моделями
авторегрессии
X
t
= a X
t–1
+ ε
t
с
σ
ε
2
= 0.2 при a = 0.8 (первый график) и a = – 0.8 (второй
график).
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
50 100 150 200 250 300 350 400 450
a = 0.8
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
50 100 150 200 250 300 350 400 450
a = - 0.8
Теперь мы должны обратить внимание на следующее важное обстоятельство. В
практических ситуациях “стартовое” значение
X
0
= x
0
, на основе которого в соответствии с
соотношением
X
t
= a X
t–1
+ ε
t
строятся последующие значения ряда X
t
, может относиться
к концу предыдущего периода, на котором просто в силу других экономических условий
эволюция соответствующего экономического показателя следует иной модели, например,
модели
X
t
= a X
t–1
+ ε
t
с другими значениями a и
σ
ε
2
. Более того, статистические данные о
поведении ряда до момента
t = 0 могут отсутствовать вовсе, так что значение x
0
является
просто некоторой наблюдаемой числовой величиной. В обоих случаях ряд
X
t
уже не будет
стационарным даже при
a < 1. Рассмотрим подробнее характеристики и поведение ряда в
таких ситуациях.
Если не конкретизировать модель, в соответствии с которой порождались наблюдения до
момента
t = 1, то значение x
0
можно рассматривать как фиксированное. При этом
X
t
= a
t
x
0
+ a
t–1
ε
1
+ a
t–2
ε
2
+ … + ε
t
,
E(X
t
) = a
t
x
0
+ a
t–1
E(ε
1
) + a
t–2
E(ε
2
) + … + E(ε
t
) = a
t
x
0
, 
    Продолжая рассмотрение для ранее определенного процесса              Xt (с нулевым
математическим ожиданием), заметим, что для него
    γ (1) = E(Xt ·Xt–1) = E [(a Xt–1 + εt) ·Xt–1] = aγ (0),
так что
     ρ(1) = γ (1) ⁄ γ (0) = a ,
и при значениях a > 0, близких к 1, между соседними наблюдениями имеется сильная
положительная корреляция, что обеспечивает более гладкий характер поведения траекторий
ряда по сравнению с процессом белого шума. При a < 0 процесс авторегрессии, напротив,
имеет менее гладкие реализации, поскольку в этом случае проявляется тенденция
чередования знаков последовательных наблюдений. Следующие два графика демонстрируют
поведение смоделированных реализаций временных рядов, порожденных моделями
авторегрессии Xt = a Xt–1 + εt с σε2 = 0.2 при a = 0.8 (первый график) и a = – 0.8 (второй
график).
 1.5                                          1.5

                                              1.0
 1.0

                                              0.5
 0.5
                                              0.0
 0.0
                                              -0.5

-0.5
                                              -1.0

-1.0                                          -1.5
       50   100 150 200 250 300 350 400 450          50   100 150 200 250 300 350 400 450

                      a = 0.8                                       a = - 0.8




   Теперь мы должны обратить внимание на следующее важное обстоятельство. В
практических ситуациях “стартовое” значение X0 = x0 , на основе которого в соответствии с
соотношением Xt = a Xt–1 + εt строятся последующие значения ряда Xt , может относиться
к концу предыдущего периода, на котором просто в силу других экономических условий
эволюция соответствующего экономического показателя следует иной модели, например,
модели Xt = a Xt–1 + εt с другими значениями a и σε2. Более того, статистические данные о
поведении ряда до момента t = 0 могут отсутствовать вовсе, так что значение x0 является
просто некоторой наблюдаемой числовой величиной. В обоих случаях ряд Xt уже не будет
стационарным даже при a < 1. Рассмотрим подробнее характеристики и поведение ряда в
таких ситуациях.
   Если не конкретизировать модель, в соответствии с которой порождались наблюдения до
момента t = 1, то значение x0 можно рассматривать как фиксированное. При этом
    Xt = a t x0 + a t–1 ε1 + a t–2 ε2 + … + εt ,
   E(Xt) = a t x0 + a t–1E(ε1) + a t–2E(ε2) + … + E(εt) = a t x0 ,

Страницы