Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Предполагая, наконец, что
D(X
0
) = D(X
t
) =
σ
X
2
для всех t = 1, …, n,
находим:
σ
X
2
= a
2
σ
X
2
+
σ
ε
2
.
Последнее может выполняться только при выполнении условия
a
2
< 1, т.е.
a < 1.
При этом получаем выражение для
σ
X
2
σ
X
2
=
σ
ε
2
⁄ (1– a
2
) .
Что касается автоковариаций и автокорреляций, то
Cov(X
t
, X
t
+
τ
) = Cov(a
t
X
0
+ a
t–1
ε
1
+ a
t–2
ε
2
+ … + ε
t
,
a
t+τ
X
0
+ a
t+τ–1
ε
1
+ a
t+τ–2
ε
2
+ … + ε
t+τ
) =
= a
2t+τ
D(X
0
) + a
τ
(1 + a
2
+ … + a
2(t–1)
)
σ
ε
2
=
=
a
τ
[a
2t
σ
ε
2
⁄ (1– a
2
) + (1– a
2t
)
σ
ε
2
⁄ (1– a
2
)] = [a
τ
⁄ (1– a
2
)]
σ
ε
2
,
и
Corr(X
t
, X
t
+
τ
) = a
τ
,
т.е. при сделанных предположениях автоковариации и автокорреляции зависят только от
того, насколько разнесены по времени соответствующие наблюдения.
Таким образом, механизм порождения последовательных наблюдений, заданный
соотношениями
X
t
= a X
t–1
+ ε
t
, t = 1, …, n,
порождает стационарный
временной ряд, если
• a < 1 ;
• случайная величина X
0
не коррелирована со случайными величинами ε
1
, ε
2
, …, ε
n
;
• E(X
0
) = 0 ;
• D(X
0
) =
σ
ε
2
⁄ (1– a
2
) .
При этом
Corr(X
t
, X
t
+
τ
) = ρ(
τ
) = a
τ
.
Рассмотренная модель порождает (при указанных условиях) стационарный ряд,
имеющий нулевое
математическое ожидание. Однако ее можно легко распространить и на
временные ряды
y
t
с ненулевым математическим ожиданием E(Y
t
) =
µ
, полагая, что
указанная модель относится к центрированному ряду
X
t
= Y
t
–
µ
:
Y
t
–
µ
= a (Y
t–1
–
µ
) + ε
t
, t = 1, …, n,
так что
Y
t
= aY
t–1
+ δ + ε
t
, t = 1, …, n,
где
δ =
µ
(1– a) .
Поэтому без ограничения общности можно обойтись в текущем рассмотрении моделями
авторегрессии, порождающими стационарный процесс с нулевым
средним. 
Предполагая, наконец, что
    D(X0) = D(Xt) = σX2 для всех t = 1, …, n,
находим:
     σX2 = a2σX2 + σε2.
Последнее может выполняться только при выполнении условия a2 < 1, т.е.
      a < 1.
При этом получаем выражение для σX2
     σX2 = σε2⁄ (1– a2) .
Что касается автоковариаций и автокорреляций, то
    Cov(Xt , Xt +τ) = Cov(a t X0 + a t–1 ε1 + a t–2 ε2 + … + εt ,
                             a t+τX0 + a t+τ–1 ε1 + a t+τ–2 ε2 + … + εt+τ) =
                    = a D(X0) + aτ (1 + a2 + … + a2(t–1))σε2 =
                        2t+τ

                    = aτ [a2tσε2⁄ (1– a2) + (1– a2t)σε2⁄ (1– a2)] = [a τ ⁄ (1– a2)]σε2,
и
    Corr(Xt , Xt +τ) = a τ ,
т.е. при сделанных предположениях автоковариации и автокорреляции зависят только от
того, насколько разнесены по времени соответствующие наблюдения.
    Таким образом, механизм порождения последовательных наблюдений, заданный
соотношениями
    Xt = a Xt–1 + εt , t = 1, …, n,
порождает стационарный временной ряд, если
    •    a <1;
    • случайная величина X0 не коррелирована со случайными величинами ε1, ε2, …, εn ;
    • E(X0) = 0 ;
    • D(X0) = σε2 ⁄ (1– a2) .
При этом Corr(Xt , Xt +τ) = ρ(τ) = a τ.
    Рассмотренная модель порождает (при указанных условиях) стационарный ряд,
имеющий нулевое математическое ожидание. Однако ее можно легко распространить и на
временные ряды yt с ненулевым математическим ожиданием E(Yt) = µ , полагая, что
указанная модель относится к центрированному ряду Xt = Yt –µ :
    Yt –µ = a (Yt–1 – µ ) + εt , t = 1, …, n,
так что
    Yt = aYt–1 + δ + εt , t = 1, …, n,
где
    δ = µ (1– a) .
Поэтому без ограничения общности можно обойтись в текущем рассмотрении моделями
авторегрессии, порождающими стационарный процесс с нулевым средним.

Страницы