Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

D(X
t
) = (a
2(t–1)
+ a
2(t–2)
+ … + 1)
σ
ε
2
= [(1– a
2t
) ⁄ (1– a
2
)]
σ
ε
2
=
σ
ε
2
⁄ (1– a
2
) – [a
2t
⁄ (1– a
2
)]
σ
ε
2
,
Cov(X
t
, X
t
+
τ
) = Cov(X
t
– a
t
x
0
, X
t
+
τ
– a
t+τ
x
0
) = a
τ
(1 + a
2
+ … + a
2(t–1)
)
σ
ε
2
=
a
τ
(1– a
2t
)
σ
ε
2
⁄ (1– a
2
) ,
так что и математическое ожидание и дисперсия случайной величины
X
t
, а также
ковариации
Cov(X
t
, X
t
+
τ
) зависят от t .
В то же время, если
a < 1, то при t → ∞ получаем
E(X
t
) → 0 , D(X
t
) →
σ
ε
2
⁄ (1– a
2
), Cov(X
t
, X
t
+
τ
) → a
τ
[
σ
ε
2
⁄ (1– a
2
)],
т.е. при
t→ ∞ значения математического ожидания и дисперсии случайной величины X
t
, а
также автоковариации
Cov(X
t
, X
t
+
τ
) стабилизируются, приближаясь к своим предельным
значениям.
С этой точки зрения, условие
a < 1 можно трактовать как условие стабильности ряда,
порождаемого моделью
X
t
= aX
t–1
+ ε
t
при фиксированном значении X
0
= x
0
. Рассмотрим в
этой ситуации наряду с только что исследованным рядом
X
t
,
1
0
0
∑
−
=
−
+=
t
k
kt
kt
t
axaX
ε
, a < 1 ,
ряд, порождаемый моделью
.
~
0
∑
∞
=
−
=
k
kt
k
t
aX
ε
Имеем:
;
~
0 kt
tk
kt
tt
axaXX
−
∞
=
∑
+−=−
ε
при t→ ∞
a
t
x
0
→ 0 и . 0
22
2
→=
∑∑
∞
=
∞
=
−
tk
k
tk
kt
k
aaE
ε
σε
Таким образом, ряд
t
X
~
является предельным для X
t
; ряд X
t
“выходит на режим”
t
X
~
при
t→ ∞ . При этом выход ряда X
t
на режим
t
X
~
происходит тем быстрее, чем ближе X
0
и a
к нулю.
Для ряда
t
X
~
()
()
, 0
~
0 0
==
=
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
k
kt
k
k
kt
k
t
EaaEXE
εε
D(
t
X
~
) =
()
,
1
2
2
0
22
0 0
a
aDaaD
k
k
k
kt
k
k
kt
k
−
===
∑∑∑
∞
=
∞
=
−
∞
=
−
ε
ε
σ
σεε
    D(Xt) = (a2(t–1) + a2(t–2) + … + 1) σε2 = [(1– a2t) ⁄ (1– a2)]σε2
          = σε2⁄ (1– a2) – [a2t ⁄ (1– a2)]σε2,
    Cov(Xt , Xt +τ) = Cov(Xt – a t x0 , Xt +τ – a t+τ x0) = aτ (1 + a2 + … + a2(t–1))σε2
                    = aτ (1– a2t)σε2⁄ (1– a2) ,
так что и математическое ожидание и дисперсия случайной величины Xt , а также
ковариации Cov(Xt , Xt +τ) зависят от t .
    В то же время, если a < 1, то при t → ∞ получаем
    E(Xt) → 0 , D(Xt) → σε2⁄ (1– a2), Cov(Xt , Xt +τ) → a τ [σε2 ⁄ (1– a2)],
т.е. при t→ ∞ значения математического ожидания и дисперсии случайной величины Xt , а
также автоковариации Cov(Xt , Xt +τ) стабилизируются, приближаясь к своим предельным
значениям.
    С этой точки зрения, условие a < 1 можно трактовать как условие стабильности ряда,
 порождаемого моделью Xt = aXt–1 + εt при фиксированном значении X0 = x0 . Рассмотрим в
 этой ситуации наряду с только что исследованным рядом Xt ,
                    t −1
     X t = a x0 + ∑ a k ε t − k
             t
                                         , a <1,
                   k =0
ряд, порождаемый моделью
          ∞
     ~
    X t = ∑ a k ε t −k .
           k =0
Имеем:
                          ∞
   ~
   X t − X t = −a t x 0 + ∑ a k ε t − k ;
                                  k =t
при t→ ∞
                            ∞            2     ∞
    a x0 → 0 и E ∑ a ε t −k = σ ε2 ∑ a 2 k → 0 .
     t                            k

                           k =t               k =t
                    ~                                                         ~
Таким образом, ряд X t является предельным для Xt ; ряд Xt “выходит на режим” X t при
                                         ~
t→ ∞ . При этом выход ряда Xt на режим X t происходит тем быстрее, чем ближе X0 и a
к нулю.
             ~
   Для ряда X t

      ( )
      ~         ∞            ∞
    E X t = E  ∑ a k ε t −k  = ∑ a k E (ε t −k ) = 0 ,
               k =0          k =0
       ~         ∞ k           ∞ k                         ∞
                                                                    σ ε2
    D( X t ) = D ∑ a ε t −k  = ∑ a D(ε t −k ) = σ ε ∑ a =
                                                         2      2k
                                                                         ,
                k =0           k =0                      k =0    1− a2

Страницы