Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

-3
-2
-1
0
1
2
3
4
50 100 150 200 250
DOW-JONES_TEMP
Заметим, однако, что здесь наблюдается некоторая асимметрия распределения
вероятностей значений
x
t
(скошенность этого распределения в сторону положительных
значений), что исключает описание модели этого ряда как гауссовского
белого шума.
2.3. Процесс авторегрессии
Одной из широко используемых моделей временных рядов является процесс
авторегрессии
(модель авторегрессии). В своей простейшей форме модель авторегрессии
описывает механизм порождения ряда следующим образом:
X
t
= a X
t – 1
+ ε
t
, t = 1, …, n,
где
ε
t
– процесс белого шума, имеющий нулевое математическое ожидание и дисперсию
σ
ε
2
,
X
0
– некоторая случайная величина, а a ≠ 0 – некоторый постоянный коэффициент.
При этом
E(X
t
) = a
E(X
t – 1
),
так что рассматриваемый процесс может быть стационарным только если
E(X
t
) = 0 для всех t
=
0, 1, …, n.
Далее,
X
t
= a X
t – 1
+ ε
t
= a (a X
t –2
+ ε
t–1
) + ε
t
= a
2
X
t–2
+ a ε
t–1
+ ε
t
= … =
=
a
t
X
0
+ a
t –1
ε
1
+ a
t–2
ε
2
+ … + ε
t
,
X
t–1
= a X
t–2
+ ε
t–1
= a
t–1
X
0
+ a
t–2
ε
1
+ a
t–3
ε
2
+ … + ε
t–1
,
X
t–2
= a X
t–3
+ ε
t–2
= a
t–2
X
0
+ a
t–3
ε
1
+ a
t–4
ε
2
+ … + ε
t–2,
…
X
1
= a X
0
+ ε
1
.
Если случайная величина
X
0
не коррелирована со случайными величинами ε
1
, ε
2
, …, ε
n
, то
отсюда следует, что
Cov(X
0
, ε
1
) = 0, Cov(X
1
, ε
2
) = 0, … , Cov(X
t–2
, ε
t–1
) = 0, Cov(X
t–1
, ε
t
) = 0
и
D
(X
t
) = D(aX
t–1
+ ε
t
) = a
2
D(X
t–1
) + D(ε
t
), t = 1, …, n. 
    4

    3

    2

    1

    0

   -1

   -2

   -3
           50   100     150      200   250

                DOW-JONES_TEMP


   Заметим, однако, что здесь наблюдается некоторая асимметрия распределения
вероятностей значений xt (скошенность этого распределения в сторону положительных
значений), что исключает описание модели этого ряда как гауссовского белого шума.


2.3. Процесс авторегрессии
    Одной из широко используемых моделей временных рядов является процесс
авторегрессии (модель авторегрессии). В своей простейшей форме модель авторегрессии
описывает механизм порождения ряда следующим образом:
    Xt = a Xt – 1 + εt , t = 1, …, n,
где εt – процесс белого шума, имеющий нулевое математическое ожидание и дисперсию σε2,
X0 – некоторая случайная величина, а a ≠ 0 – некоторый постоянный коэффициент.
При этом
    E(Xt) = a E(X t – 1),
так что рассматриваемый процесс может быть стационарным только если E(Xt) = 0 для всех t
= 0, 1, …, n.
    Далее,
    Xt = a X t – 1 + εt = a (a Xt –2 + εt–1) + εt = a2 Xt–2 + a εt–1 + εt = … =
         = a t X0 + a t –1 ε1 + a t–2 ε2 + … + εt ,
    Xt–1 = a Xt–2 + εt–1 = a t–1 X0 + a t–2 ε1 + a t–3 ε2 + … + εt–1 ,
    Xt–2 = a Xt–3 + εt–2 = a t–2 X0 + a t–3 ε1 + a t–4 ε2 + … + εt–2,
          …
    X1 = a X0 + ε1.
Если случайная величина X0 не коррелирована со случайными величинами ε1, ε2, …, εn, то
отсюда следует, что
    Cov(X0, ε1) = 0, Cov(X1, ε2) = 0, … , Cov(Xt–2, εt–1) = 0, Cov(Xt–1, εt) = 0
и
    D(Xt) = D(aXt–1 + εt) = a2D(Xt–1) + D(εt), t = 1, …, n.

Страницы