Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3.1. Идентификация стационарной модели ARMA
Основной отправной точкой для идентификации стационарной модели ARMA является
различие поведения
автокорреляционных (ACF) и частных автокорреляционных (PACF)
функций (
ACF – autocorrelation function, PACF – partial autocorrelation function) рядов,
соответствующих различным моделям ARMA.
О поведении автокорреляционных функций для различных моделей ARMA мы уже
говорили. Однако по поведению только автокорреляционной функции трудно
идентифицировать даже порядок чистого (без MA составляющей) процесса авторегрессии.
Решению этого вопроса помогает рассмотрение поведения
частной автокорреляционной
функции (PACF) стационарного процесса X
t
. Ее значение ρ
part
(k) на лаге k определяется
как значение коэффициента корреляции между случайными величинами
X
t
и X
t+k
,
очищенными от влияния случайных величин
X
t+1
, …, X
t+k–1
.
Это соответствует тому, что
ρ
part
(k) является коэффициентом при X
t–k
в линейной
комбинации случайных величин
X
t–1
, …, X
t–k
, наилучшим образом приближающей
случайную величину
X
t
. Исходя из последнего, можно показать (см., например, [Hamilton
(1994)]), что
ρ
part
(k) определяется как решение относительно a
k
системы первых k
уравнений Юла – Уокера
ρ(s) = a
1
ρ(s–1) + a
2
ρ(s–2) + … + a
k
ρ(s–k) , s = 1, 2, …, k ,
которую в этом случае удобнее записать в виде
ρ(s–1) a
1
+ ρ(s–2) a
2
+ … + ρ(s–k) a
k
= ρ(s) , s = 1, 2, …, k ,
подчеркивая, что неизвестными здесь являются
a
1
, a
2
, …, a
k
, а ρ(1–k), …, ρ(k–1) –
известные коэффициенты. Исходя из этого и применяя известное из алгебры правило
Крамера решения системы
k линейных уравнений с k неизвестными, находим, что
вычисление PACF можно производить по формулам
ρ
part
(0) = 1,
ρ
part
(1) = ρ(1),
ρ
part
(2) =
1)1(
)1(1
)2()1(
)1(1
ρ
ρ
ρρ
ρ
=
)1(1
)1()2(
2
2
ρ
ρρ
−
−
,
ρ
part
(3) =
1)1()2(
)1(1)1(
)2()1(1
)3()1()2(
)2(1)1(
)1()1(1
ρρ
ρρ
ρρ
ρρρ
ρρ
ρρ
,
K 
3.1. Идентификация стационарной модели ARMA

   Основной отправной точкой для идентификации стационарной модели ARMA является
различие поведения автокорреляционных (ACF) и частных автокорреляционных (PACF)
функций (ACF – autocorrelation function, PACF – partial autocorrelation function) рядов,
соответствующих различным моделям ARMA.
   О поведении автокорреляционных функций для различных моделей ARMA мы уже
говорили. Однако по поведению только автокорреляционной функции трудно
идентифицировать даже порядок чистого (без MA составляющей) процесса авторегрессии.
Решению этого вопроса помогает рассмотрение поведения частной автокорреляционной
функции (PACF) стационарного процесса Xt . Ее значение ρpart(k) на лаге k определяется
как значение коэффициента корреляции между случайными величинами Xt            и Xt+k ,
очищенными от влияния случайных величин Xt+1 , …, Xt+k–1 .
   Это соответствует тому, что ρpart(k) является коэффициентом при Xt–k в линейной
комбинации случайных величин Xt–1, …, Xt–k , наилучшим образом приближающей
случайную величину Xt . Исходя из последнего, можно показать (см., например, [Hamilton
(1994)]), что ρpart(k) определяется как решение относительно ak системы первых k
уравнений Юла – Уокера
   ρ(s) = a1 ρ(s–1) + a2 ρ(s–2) + … + ak ρ(s–k) , s = 1, 2, …, k ,
которую в этом случае удобнее записать в виде
   ρ(s–1) a1 + ρ(s–2) a2 + … + ρ(s–k) ak = ρ(s) , s = 1, 2, …, k ,
подчеркивая, что неизвестными здесь являются a1 , a2 , …, ak , а ρ(1–k), …, ρ(k–1) –
известные коэффициенты. Исходя из этого и применяя известное из алгебры правило
Крамера решения системы k линейных уравнений с k неизвестными, находим, что
вычисление PACF можно производить по формулам
   ρpart(0) = 1,
   ρpart(1) = ρ(1),
                 1   ρ (1)
               ρ (1) ρ (2) ρ (2) − ρ 2 (1)
   ρpart(2) =              =               ,
                 1   ρ (1)    1 − ρ 2 (1)
               ρ (1) 1
              1     ρ (1) ρ (1)     1    ρ (1) ρ (2)
   ρpart(3) = ρ (1)  1    ρ ( 2)   ρ (1)  1    ρ (1) ,
              ρ (2) ρ (1) ρ (3)    ρ (2) ρ (1)   1
          K

Страницы