Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∑
=
==
T
t
t
x
T
x
1
1
ˆ
µ
− оценка для µ = E(X
t
)
,
() ()( )
∑
−
=
+
−−
−
=
kT
t
ktt
xx
kT
k
1
ˆˆ
1
ˆ
µµγ
− оценка для γ(k),
и выборочной PACF, образованной выборочными частными автокорреляциями r
part
(k) .
Получить последние можно, заменяя входящие в выражения для
ρ
part
(k) автокорреляции ρ(s)
их оценками
r(s). Однако проще поступить иначе, исходя из того, что ρ
part
(k) является
коэффициентом при
X
t–k
в линейной комбинации случайных величин X
t–1
, …, X
t–k
,
наилучшим образом приближающей случайную величину
X
t
. Именно, можно просто
оценить методом наименьших квадратов коэффициенты в модели
X
t
= a
1
X
t–1
+ a
2
X
t–2
+ … + a
k
X
t–k
+ u
t
(в которой составляющая
u
t
получается как разность
u
t
= X
t
– (a
1
X
t–1
+ a
2
X
t–2
+ … + a
k
X
t–k
) ,
так что на нее не накладываются какие-либо предварительные ограничения). Полученная в
результате оценка коэффициента
a
k
и есть r
part
(k) .
Если
X
t
является стационарным процессом типа ARMA(p,q) и
(
)
∞<
4
t
XE , то указанные
оценки
,
ˆ
µ
, )(
ˆ
k
γ
r(k) и r
part
(k) являются состоятельными оценками для µ , γ(k), ρ (k) и
ρ
part
(k), соответственно. (См. [Hamilton (1994), p.199].) Поскольку r(k) и r
part
(k) всего лишь
оценки
для ρ(k) и ρ
part
(k), то их наблюдаемые значения могут значительно отличаться от ρ(k)
и ρ
part
(k). В частности, если при некоторых k =k
1
и k =k
2
в модели, порождающей
наблюдения, ρ(k
1
) = 0 и ρ
part
(k
2
) = 0, то, как правило, r(k
1
) ≠ 0 и r
part
(k
2
) ≠ 0, что вносит
дополнительную неопределенность в задачу идентификации. Более того, характер изменения
теоретической автокорреляционной функции вовсе не обязательно будет воспроизводиться в
ее выборочном аналоге – выборочной автокорреляционной функции.
Тем не менее, во многих случаях поведение теоретических ACF и PACF в какой-то мере
отражается и на поведении их выборочных аналогов. Поэтому представление о поведении
теоретических
ACF и PACF может помочь в решении задачи идентификации
соответствующих моделей в рамках общего класса моделей ARMA. В этой связи мы
суммируем в следующей таблице свойства ACF и PACF для некоторых популярных моделей
стационарных временных рядов.
Модель ACF PACF
Белый шум,
MA(0)
ρ(k) = 0 для k ≠ 0 Ρ
part
(k) = 0 для k ≠ 0
AR(1),
a
1
> 0
Экспоненциальное
убывание ρ(k) = a
1
k
ρ
part
(1) = a
1
ρ
part
(k) = 0, k ≥ 2
AR(1), Осциллирующее ρ
part
(1) = a
1 
                1 T
   µ̂ = x =       ∑ xt − оценка для µ = E(Xt) ,
                T t =1
                 1 T −k
     γˆ (k ) =         ∑ (xt − µˆ )(xt +k − µˆ ) − оценка для γ(k),
               T − k t =1
и выборочной PACF, образованной выборочными частными автокорреляциями rpart(k) .
Получить последние можно, заменяя входящие в выражения для ρpart(k) автокорреляции ρ(s)
их оценками r(s). Однако проще поступить иначе, исходя из того, что ρpart(k) является
коэффициентом при Xt–k в линейной комбинации случайных величин Xt–1, …, Xt–k ,
наилучшим образом приближающей случайную величину Xt . Именно, можно просто
оценить методом наименьших квадратов коэффициенты в модели
    Xt = a1 Xt–1 + a2 Xt–2 + … + ak Xt–k + ut
(в которой составляющая ut получается как разность
    ut = Xt – (a1 Xt–1 + a2 Xt–2 + … + ak Xt–k) ,
так что на нее не накладываются какие-либо предварительные ограничения). Полученная в
результате оценка коэффициента ak и есть rpart(k) .
                                                                      ( )
    Если Xt является стационарным процессом типа ARMA(p,q) и E X t4 < ∞ , то указанные
оценки µ̂ , γˆ (k ) , r(k) и rpart(k) являются состоятельными оценками для µ , γ(k), ρ (k) и
ρpart(k), соответственно. (См. [Hamilton (1994), p.199].) Поскольку r(k) и rpart(k) всего лишь
оценки для ρ(k) и ρpart(k), то их наблюдаемые значения могут значительно отличаться от ρ(k)
и ρpart(k). В частности, если при некоторых k =k1 и k =k2 в модели, порождающей
наблюдения, ρ(k1) = 0 и ρpart(k2) = 0, то, как правило, r(k1) ≠ 0 и rpart(k2) ≠ 0, что вносит
дополнительную неопределенность в задачу идентификации. Более того, характер изменения
теоретической автокорреляционной функции вовсе не обязательно будет воспроизводиться в
ее выборочном аналоге – выборочной автокорреляционной функции.
    Тем не менее, во многих случаях поведение теоретических ACF и PACF в какой-то мере
отражается и на поведении их выборочных аналогов. Поэтому представление о поведении
теоретических ACF и PACF может помочь в решении задачи идентификации
соответствующих моделей в рамках общего класса моделей ARMA. В этой связи мы
суммируем в следующей таблице свойства ACF и PACF для некоторых популярных моделей
стационарных временных рядов.

Модель        ACF                        PACF
Белый шум,    ρ(k) = 0 для k ≠ 0         Ρpart(k) = 0 для k ≠ 0
MA(0)
AR(1),        Экспоненциальное           ρpart(1) = a1
a1 > 0        убывание ρ(k) = a1k        ρpart(k) = 0, k ≥ 2
AR(1),        Осциллирующее              ρpart(1) = a1

Страницы