Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

.
)(
)(
)(
La
Lb
Lc
i
i
=
Долговременную связь между переменными можно найти, полагая в выражении для y
t
L = 1, ε
t
≡ 0.
При этом получаем
; )1()1(
)1(
1
, ,11 tsstt
xcxc
a
y +++= K
µ
строго говоря, в последнем выражении указание на момент t следует исключить:
. )1()1(
)1(
1
11 ss
xcxc
a
y +++= K
µ
Коэффициенты с
1
(1) , … , с
s
(1) в последнем сотношении называются долгосрочными
мультипликаторами (long-run multipliers). Поясним это название на примере модели
ADL(1, 1; 1), которую запишем в виде
(1 – α
1
L) y
t
= µ + β
0
x
t
+ β
1
x
t – 1
+ ε
t
.
При α
1
< 1 получаем равносильное представление
()()
()
,
1
1
1
1
1 10
11
tttt
xx
LL
y
εββ
α
µ
α
++
−
+
−
=
−
т.е.
y
t
= (1 + α
1
+ α
1
2
+ …) µ + (1 + α
1
L + α
1
2
L
2
+ …)(β
0
x
t
+ β
1
x
t – 1
+ ε
t
),
из которого последовательно находим:
∂y
t
⁄ ∂x
t
=
β
0
,
∂y
t +1
⁄ ∂x
t
= ∂y
t
⁄ ∂x
t – 1
= β
1
+ α
1
β
0
,
∂y
t +2
⁄ ∂x
t
= ∂y
t
⁄ ∂x
t – 2
= α
1
β
1
+ α
1
2
β
0
,
∂y
t +3
⁄ ∂x
t
= ∂y
t
⁄ ∂x
t – 3
= α
1
2
β
1
+ α
1
3
β
0
,
и т.д. Правые части дают значения
импульсных мультипликаторов, показывающих
влияние единовременного
(импульсного) изменения значения x
t
на текущее и последующие
значения переменной y
t
. Просуммировав полученные выражения, получаем:
∂y
t
⁄ ∂x
t
+ ∂y
t
⁄ ∂x
t – 1
+ ∂y
t
⁄ ∂x
t – 2
+ ∂y
t
⁄ ∂x
t – 3
+ … =
= β
0
(1 + α
1
+ α
1
2
+ …) + β
1
(1 + α
1
+ α
1
2
+ …) =
= (1 – α
1
L)
– 1
(β
0
+ β
1
).
Правая часть этого соотношения, как легко заметить, представляет собой долгосрочный
мультипликатор рассматриваемой ADL(1, 1; 1). В соответствии с левой частью, этот
мультипликатор показывает изменение значения y
t
при изменении на единицу текущего и
всех предыдущих значений переменной x
t
.
Прежде, чем перейти к рассмотрению примера оценивания конкретной ADL модели,
следует заметить следующее. 
                bi ( L)
   ci ( L ) =           .
                a ( L)
Долговременную связь между переменными можно найти, полагая в выражении для yt
     L = 1, εt ≡ 0.
При этом получаем
              1
      yt =        µ + c1 (1) x1, t + K + cs (1) xs , t ;
            a(1)
строго говоря, в последнем выражении указание на момент t следует исключить:
             1
      y=         µ + c1 (1) x1 + K + cs (1) xs .
           a(1)
Коэффициенты с1(1) , … , сs(1) в последнем сотношении называются долгосрочными
мультипликаторами (long-run multipliers). Поясним это название на примере модели
ADL(1, 1; 1), которую запишем в виде
     (1 – α1L) yt = µ + β0 xt + β1 xt – 1 + εt .
При α1 < 1 получаем равносильное представление
                1                  1
      yt =              µ+              (β x + β x + ε ) ,
            (1 − α1L ) (1 − α1L ) 0 t 1 t − 1 t
т.е.
     yt = (1 + α1 + α12 + …) µ + (1 + α1 L + α12 L2 + …)(β0 xt + β1 xt – 1 + εt),
из которого последовательно находим:
       ∂yt ⁄ ∂xt = β0 ,
     ∂yt +1 ⁄ ∂xt = ∂yt ⁄ ∂xt – 1 = β1 + α1 β0 ,
     ∂yt +2 ⁄ ∂xt = ∂yt ⁄ ∂xt – 2 = α1 β1 + α12β0 ,
     ∂yt +3 ⁄ ∂xt = ∂yt ⁄ ∂xt – 3 = α12β1 + α13β0 ,
и т.д. Правые части дают значения импульсных мультипликаторов, показывающих
влияние единовременного (импульсного) изменения значения xt на текущее и последующие
значения переменной yt . Просуммировав полученные выражения, получаем:
     ∂yt ⁄ ∂xt + ∂yt ⁄ ∂xt – 1 + ∂yt ⁄ ∂xt – 2 + ∂yt ⁄ ∂xt – 3 + … =
                = β0 (1 + α1 + α12 + …) + β1(1 + α1 + α12 + …) =
                = (1 – α1L) – 1(β0 + β1).
Правая часть этого соотношения, как легко заметить, представляет собой долгосрочный
мультипликатор рассматриваемой ADL(1, 1; 1). В соответствии с левой частью, этот
мультипликатор показывает изменение значения yt при изменении на единицу текущего и
всех предыдущих значений переменной xt .

   Прежде, чем перейти к рассмотрению примера оценивания конкретной ADL модели,
следует заметить следующее.

Страницы