Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

вектор значений K объясняющих переменных в t-м наблюдении,
n
θ
ˆ
– оценка наименьших
квадратов вектора коэффициентов θ = ( θ
1
, θ
2
, … , θ
K
), полученная по n наблюдениям.
Пусть для этой модели выполнены следующие условия:
•
,
1
plim т.е.
1
plim
1
==
∞→
=
∞→
∑
QXX
n
Qxx
n
n
T
n
n
n
t
T
tt
n
где Q – положительно определенная матрица,
•
ε
t
~ i.i.d., E(
ε
t
) = 0, D(
ε
t
) = σ
2
> 0, E
ε
t
m
< ∞ для всех m = 1, 2, … ,
• Cov(x
t k
,
ε
t
) = 0 для k = 1, 2, …, K .
Тогда при n → ∞
n
(
n
θ
ˆ
– θ) → N(0, σ
2
Q
– 1
).
Предположим теперь, что x
t
– стационарный векторный (K-мерный) ряд, так что
E(x
t
) = µ = const , Cov(x
t
) = Q , Cov(x
t k
, x
t +s, l
) = γ
kl
(s)
при всех t, s для каждой пары k, l = 1, 2, …, K. (Здесь γ
kl
(s) – кросс-корреляция значений
k-ой и l-ой компонент векторного ряда x
t
, разнесенных на s единиц времени. Если
рассматривать s как аргумент, а
γ
kl
(s) как функцию от s , то γ
kl
(s) – кросс-
корреляционная функция k-ой и l-ой компонент векторного ряда x
t
.) Тогда первое из трех
условий, перечисленных в ситуации F, обеспечивает возможность оценивания неизвестной
ковариационной матрицы Cov(x
t
) = Q простым усреднением доступных наблюдению
матриц x
t
x
t
T
по достаточно длинному интервалу t = 1, 2, …, n .
В рамки ситуации F помещается достаточно распространенный класс
ARX моделей :
y
t
= a
1
y
t – 1
+ a
2
y
t – 2
+ … + a
p
y
t – p
+ z
t
T
β + ε
t
,
где
z
t
= (z
t1
, z
t2
, …, z
tM
)
T
, β = (β
1
, β
2
, … , β
M
)
T
.
Подобная модель вписывается в ситуацию F , если положить
x
t
= (y
t – 1
, y
t – 2
, …, y
t – p
, z
1
, z
2
, … , z
M
)
T
,
θ = (a
1
, a
2
, … , a
p
, β
1
, β
2
, … , β
M
)
T
.
Пусть для этой модели выполнены следующие условия:
• z
t
– стационарный векторный (M-мерный) ряд;
•
,
1
plim
1
Z
T
t
n
t
t
n
Qzz
n
=
∑
=
∞→
где
Z
Q – положительно определенная матрица;
•
ε
t
~ i.i.d., E(
ε
t
) = 0, D(
ε
t
) = σ
2
> 0, E
ε
t
m
< ∞ для всех m = 1, 2, … ;
• Cov(z
t m
,
ε
t
) = 0 для m = 1, 2, …, M ;
• Cov(y
t – j
,
ε
t
) = 0 для j = 1, 2, …, p ;
• все корни уравнения a(z) = 1 – a
1
z – a
2
z
2
– … – a
p
z
p
= 0 лежат вне единичного круга.
вектор значений K объясняющих переменных в t-м наблюдении, θˆn – оценка наименьших
квадратов вектора коэффициентов θ = ( θ 1, θ 2 , … , θK), полученная по n наблюдениям.
Пусть для этой модели выполнены следующие условия:
                  1 n                           1          
   •        plim  ∑ xt xtT  = Q  т.е. plim X nT X n = Q  ,
             n →∞  n t =1                  n →∞ n          
       где Q – положительно определенная матрица,
   • ε t ~ i.i.d., E(ε t) = 0, D(ε t) = σ2 > 0, E ε t m < ∞ для всех m = 1, 2, … ,
   • Cov(xt k , ε t) = 0 для k = 1, 2, …, K .
Тогда при n → ∞
     n ( θˆn – θ) → N(0, σ2Q – 1 ).

    Предположим теперь, что xt – стационарный векторный (K-мерный) ряд, так что
    E(xt) = µ = const , Cov(xt) = Q , Cov(xt k , xt +s, l) = γkl (s)
при всех t, s для каждой пары k, l = 1, 2, …, K. (Здесь γkl (s) – кросс-корреляция значений
k-ой и l-ой компонент векторного ряда xt , разнесенных на s единиц времени. Если
рассматривать s как аргумент, а γkl (s) как функцию от s , то γkl (s) – кросс-
корреляционная функция k-ой и l-ой компонент векторного ряда xt .) Тогда первое из трех
условий, перечисленных в ситуации F, обеспечивает возможность оценивания неизвестной
ковариационной матрицы Cov(xt) = Q простым усреднением доступных наблюдению
матриц xt xtT по достаточно длинному интервалу t = 1, 2, …, n .
    В рамки ситуации F помещается достаточно распространенный класс ARX моделей :
    yt = a1 yt – 1 + a2 yt – 2 + … + ap yt – p + ztT β + εt ,
где
    zt = (zt1, zt2, …, ztM)T , β = (β1 , β2 , … , β M)T.
Подобная модель вписывается в ситуацию F , если положить
    xt = (yt – 1, yt – 2 , …, y t – p, z1 , z2 , … , z M)T ,
    θ = (a1 , a2 , … , ap , β1 , β2 , … , β M)T .
Пусть для этой модели выполнены следующие условия:
    • zt – стационарный векторный (M-мерный) ряд;
               1 n          
    • plim      ∑ z t z tT  = QZ ,
         n →∞  n t = 1      
       где QZ – положительно определенная матрица;
   •   ε t ~ i.i.d., E(ε t) = 0, D(ε t) = σ2 > 0, E ε t m < ∞ для всех m = 1, 2, … ;
   •   Cov(zt m , ε t) = 0 для m = 1, 2, …, M ;
   •   Cov(yt – j , ε t) = 0 для j = 1, 2, …, p ;
   •   все корни уравнения a(z) = 1 – a1 z – a2 z2 – … – ap zp = 0 лежат вне единичного круга.

Страницы