Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

•
Qxx
n
T
t
n
t
t
=
∑
=1
1
plim
[в эквивалентной форме:
(
)
QXXn
T
n
=
−1
plim
] , где Q – положительно
определенная матрица;
•
()
QNx
n
t
n
t
t
2
1
,0
1
σε
→
∑
=
[в эквивалентной форме: (n
– 1/2
X
n
T
ε ) → N(0, σ
2
Q)].
(Здесь plim – предел по вероятности; стрелка в последнем условии обозначает сходимость
по распределению.) Если эти условия выполнены, то при n → ∞ , как и в ситуации D,
n (
θθ
−
n
ˆ
) → N(0, σ
2
Q
– 1
).
В работе [Mann, Wald (1943)] авторы показали следующее
(теорема Манна-Вальда).
Если
•
Qxx
n
T
t
n
t
t
=
∑
=1
1
plim
[в эквивалентной форме: plim (n
– 1
X
n
T
X ) = Q] , где Q – положительно определенная
матрица,
•
ε
t
~ i.i.d., E(
ε
t
) = 0, D(
ε
t
) = σ
2
> 0, E
ε
t
m
< ∞ для всех m = 1, 2, … ,
• E(x
t
ε
t
) = 0, t = 1, 2, …, n ,
то тогда выполнены также первое и третье условия из предыдущей тройки условий,
обеспечивающих состоятельность и асимптотическую нормальность
n
θ
ˆ
при n → ∞.
Заметим, что условие E(x
t
ε
t
) = 0, t = 1, 2, …, n , в сочетании с E(
ε
t
) = 0, означает, что
Cov(x
t k
,
ε
t
) = 0 для k = 1, 2, …, p ,
т.е. означает некоррелированность значений объясняющих переменных с
ε
t
в совпадающие
моменты времени. Условие E
ε
t
m
< ∞ для всех m = 1, 2, … , выполняется, в частности,
для нормального распределения
ε
t
.
Цитированные результаты можно объединить теперь вместе.
Ситуация F
Пусть в линейной модели
y
t
= x
t
T
θ + ε
t
, t = 1, 2, …, n ,
где
x
t
= (x
t1
, x
t2
, …, x
tK
)
T
– 
            1 n       
    •   plim ∑ xt xtT  = Q
             n t =1   
        [в эквивалентной форме:                  (        )
                                             plim n −1 X nT X = Q ] , где Q –   положительно
        определенная матрица;
         1 n           
    •       ∑               (
                 xt ε t  → N 0, σ 2Q    )
         n t =1        
       [в эквивалентной форме: (n – 1/2 XnT ε ) → N(0, σ2Q)].
(Здесь plim – предел по вероятности; стрелка в последнем условии обозначает сходимость
по распределению.) Если эти условия выполнены, то при n → ∞ , как и в ситуации D,
     n ( θˆn − θ ) → N(0, σ2Q – 1 ).

   В работе [Mann, Wald (1943)] авторы показали следующее (теорема Манна-Вальда).
Если
          1 n       
   •  plim ∑ xt xtT  = Q
           n t =1   
        [в эквивалентной форме: plim (n– 1 XnT X ) = Q] , где Q – положительно определенная
    матрица,
    • ε t ~ i.i.d., E(ε t) = 0, D(ε t) = σ2 > 0, E ε t m < ∞ для всех m = 1, 2, … ,
    • E(xtε t) = 0, t = 1, 2, …, n ,
то тогда выполнены также первое и третье условия из предыдущей тройки условий,
обеспечивающих состоятельность и асимптотическую нормальность θˆn при n → ∞.
    Заметим, что условие E(xtε t) = 0, t = 1, 2, …, n , в сочетании с E(ε t) = 0, означает, что
    Cov(xt k , ε t) = 0 для k = 1, 2, …, p ,
 т.е. означает некоррелированность значений объясняющих переменных с εt в совпадающие
моменты времени. Условие E ε t m < ∞ для всех m = 1, 2, … , выполняется, в частности,
для нормального распределения ε t .

Цитированные результаты можно объединить теперь вместе.

Ситуация F
    Пусть в линейной модели
    yt = xtT θ + εt , t = 1, 2, …, n ,
где
    xt = (xt1, xt2, …, xtK)T –

Страницы