Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 64 стр.

Ситуация D
    • процесс yt порождается моделью
         yt = α + a1 yt – 1+ a2 yt – 2 + … + ap yt – p + εt (εt – инновации);
    • все корни полинома 1 – a1z – a2 z2 – …– ap z p = 0 лежат за пределами единичного
         круга;
    • ε t ~ i.i.d., E(ε t) = 0, D(ε t) = σ2 > 0, E(ε t4) = µ4 < ∞ .
При выполнении перечисленных условий, для оценки наименьших квадратов θˆn вектора
коэффициентов θ = (α , a1 , a2 , … , ap), полученной по n наблюдениям, выполняется
соотношение
    n 1/2 ( θˆn – θ) → N(0, σ2Q – 1 ) ,
где Q – положительно определенная матрица, элементы которой выражаются в явной форме
через математическое ожидание и автокорреляции процесса yt . Ковариационная матрица σ2
Q–1      асимптотического распределения может быть оценена состоятельно посредством
Sn2(XnTXn ⁄ n)–1 , и это означает, что асимптотически обоснованны статистические процедуры,
трактующие распределение θˆn как N(θ, Sn2(XnTXn )– 1). (Здесь Xn – матрица значений
объясняющих переменных в n наблюдениях.)
    Иными словами, и в рассматриваемой ситуации можно пользоваться стандартными
 методами регрессионного анализа, имея в виду их асимптотическую обоснованность.

   Если перейти к процессам, стационарным относительно детерминированного тренда, то
следует отметить возникающую здесь особенность, связанную со сходимостью
распределения оценок наименьших квадратов к асимптотическому распределению. Мы
поясним эту особенность на следующем примере.

   Пусть ряд yt порождается простой моделью временного тренда
   yt = α + β t + ε t ,
где ε t ~ i.i.d., E(ε t) = 0, D(ε t) = σ2 > 0, E(ε t4) = µ4 < ∞ . Если и здесь записать модель в
стандартной форме
    yt = xtT θ + εt , xt = (1, t)T , θ = (α, β),
то чтобы получить невырожденное асимптотическое распределение оценки наименьших
квадратов θˆn = ( α̂ n , β̂ n ), приходится использовать различные нормирующие множители:
( α̂ n – α n ) умножается на T 1/2 , а ( β̂ n – β n ) умножается на T 3/2 . Однако это различие
компенсируется тем, что аналогичным образом ведут себя и стандартные ошибки для α̂ n и
β̂ n . Как результат, обычные t-статистики имеют асимптотическое N(0, 1) распределение.