Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 63 стр.

Глава 4. Регрессионный анализ для стационарных
объясняющих переменных
   Прежде, чем переходить к изложению материала этой главы, заметим, что в этой главе
мы не будем различать в обозначениях случайные величины и их наблюдаемые значения – в
обоих случаях будут использоваться строчные буквы.


4.1. Асимптотическая обоснованность стандартных процедур

   В главе 1 мы уже отмечали, что рассмотренные там случаи, в которых можно
использовать стандартные процедуры регрессионного анализа несмотря на то, что
объясняющие переменные являются стохастическими (ситуации A, A΄, B, C), не охватывают
наиболее интересных для нас моделей стационарных и нестационарных временных рядов.
Это замечание относится и к широко используемым на практике моделям авторегрессии, в
том числе и стационарным.

    Рассмотрим модель авторегрессии AR(p)
    yt = α + a1 yt – 1 + a2 yt – 2 + … + ap yt – p + εt ,
где εt – инновации, образующие процесс белого шума с D(εt) =σε2. Эту модель можно
представить в виде линейной модели регрессии
    y t = x tT θ + ε t ,
где
    xt = (1, yt – 1, yt – 2, … , yt – p)T , θ = (α , a1 , a2 , … , ap)T .
Но мы не можем использовать для нее результаты, полученные в ситуациях A и B. Хотя εs и
xt статистически независимы при s ≥ t , они оказываются зависимыми уже при s = t – 1,
поскольку εt – 1 участвует в формировании случайной величины yt – 1, входящей в состав xt .
Это нарушает условие, входящее в определения ситуаций A и B.
    Мы не можем также использовать и результаты, полученные в ситуациях A΄ и C. Там
требовалось, чтобы условное распределение вектора ε при фиксированной матрице X
имело вид N(0, σ 2V ) с положительно определенной (невырожденной) матрицей V (в
ситуации A΄ это единичная матрица). Однако при фиксированных значениях xt + 1 = (1, yt , yt –
                  T
1, … , yt – p + 1) и xt значение εt известно с полной определенностью.


   Тем не менее, если AR(p) модель стационарна, то положение вполне благополучно: