Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

В общем случае рассматривается k временных рядов y
1t
, y
2t
, …, y
kt
. Модель векторной
авторегрессии порядка p предполагает, что связь между этими рядами имеет вид
y
1t
= µ
1
+ π
11.1
y
1,
t – 1
+ π
11.2
y
1, t – 2
+ … + π
11.p
y
1,
t – p
+
+ π
12.1
y
2,
t – 1
+ π
12.2
y
2,
t – 2
+ … + π
12.p
y
2,
t – p
+
+ … +
+ π
1k. 1
y
k, t – 1
+ π
1k. 2
y
k, t – 2
+ … + π
1k.p
y
k, t – p
+ ε
1t
,
y
2t
= µ
2
+ π
21.1
y
1,
t – 1
+ π
21.2
y
1,
t – 2
+ … + π
21.p
y
1, t – p
+
+ π
22.1
y
2,
t – 1
+ π
22.2
y
2,
t – 2
+ … + π
22.p
y
2, t – p
+
+ … +
+ π
2k.1
y
k,
t – 1
+ π
2k.2
y
k,
t – 2
+ … + π
2k.p
y
k, t – p
+ ε
2t
,
. . .
y
k t
= µ
k
+ π
k1.1
y
1,
t – 1
+ π
k1.2
y
1, t – 2
+ … + π
k1.p
y
1,
t – p
+
+ π
k2.1
y
2,
t – 1
+ π
k2.2
y
2,
t – 2
+ … + π
k2.p
y
2,
t – p
+
+ … +
+ π
kk. 1
y
k, t – 1
+ π
kk. 2
y
k, t – 2
+ … + π
kk.p
y
k, t – p
+ ε
kt
,
где π
ij.r
- коэффициент при y
j, t – r
в уравнении для y
i t
.
Здесь ε
1t
, ε
2t
, …, ε
kt
– случайные величины, для которых
• Cov(ε
jt
, ε
ls
) = 0 для t ≠ s при любых j , l = 1, …, k ;
• Cov(ε
jt
, y
l, t – r
) = 0 для r ≥ 1 при любых j , l = 1, …, k ;
• Cov(ε
jt
, ε
lt
) могут отличаться от нуля.
Cлучайные величины ε
1t
, ε
2t
, …, ε
kt
образуют случайный вектор ε
t
= (ε
1t
, ε
2t
, …, ε
kt
)
T
,
компоненты которого некоррелированы по времени и не коррелированы с запаздывающими
значениями переменных y
1t
, y
2t
, …, y
kt
. Этот вектор называют вектором инноваций
(обновлений) относительно информационного множества
Y
t – 1
= ( y
1,
t – 1
, y
1, t – 2
, … , y
1,
t – p
, … , y
k, t – 1
, y
k, t – 2
, … , y
k, t – p
) .
Пример
Рассмотрим следующую модель VAR(1) для двух рядов (k = 2, p = 1):
y
1t
= 0.6 + 0.7 y
1,
t – 1
+ 0.2 y
2,
t – 1
+ ε
1t
,
y
2t
= 0.4 + 0.2 y
1,
t – 1
+ 0.7 y
2,
t – 1
+ ε
2t
.
Приводимый ниже график иллюстрирует поведение смоделированной пары y
1t
, y
2t
порождаемой этой моделью для t = 2, 3, …, 100. В качестве начальных значений были взяты
y
11
= y
21
= 0; ε
1t
и ε
2t
моделировались как независимые случайные величины, имеющие
одинаковое нормальное распределение N(0, 0.1
2
). 
   В общем случае рассматривается k временных рядов y1t, y2t, …, ykt . Модель векторной
авторегрессии порядка p предполагает, что связь между этими рядами имеет вид
   y1t = µ1 + π11.1 y1, t – 1 + π 11.2 y1, t – 2 + … + π 11.p y1, t – p +
            + π 12.1 y2, t – 1 + π 12.2 y2, t – 2 + … + π 12.p y2, t – p +
            +…+
            + π 1k. 1 yk, t – 1 + π 1k. 2 yk, t – 2 + … + π 1k.p yk, t – p + ε1t ,

   y2t = µ2 + π21.1 y1, t – 1 + π 21.2 y1, t – 2 + … + π 21.p y1, t – p +
              + π 22.1 y2, t – 1 + π 22.2 y2, t – 2 + … + π 22.p y2, t – p +
              +…+
              + π 2k.1 yk, t – 1 + π 2k.2 yk, t – 2 + … + π 2k.p yk, t – p + ε2t ,
                  ...
   yk t = µk + πk1.1 y1, t – 1 + π k1.2 y1, t – 2 + … + π k1.p y1, t – p +
              + π k2.1 y2, t – 1 + π k2.2 y2, t – 2 + … + π k2.p y2, t – p +
              +…+
              + π kk. 1 yk, t – 1 + π kk. 2 yk, t – 2 + … + π kk.p yk, t – p + εkt ,
где π ij.r - коэффициент при yj, t – r в уравнении для yi t .
   Здесь ε1t , ε2t , …, εkt – случайные величины, для которых
         • Cov(εjt , εls) = 0 для t ≠ s при любых j , l = 1, …, k ;
         • Cov(εjt , yl, t – r) = 0 для r ≥ 1 при любых j , l = 1, …, k ;
         • Cov(εjt , εlt) могут отличаться от нуля.
Cлучайные величины ε1t , ε2t , …, εkt образуют случайный вектор ε t = (ε1t , ε2t , …, εkt)T ,
компоненты которого некоррелированы по времени и не коррелированы с запаздывающими
значениями переменных y1t, y2t, …, ykt . Этот вектор называют вектором инноваций
(обновлений) относительно информационного множества
   Yt – 1 = ( y1, t – 1 , y1, t – 2 , … , y1, t – p , … , yk, t – 1 , yk, t – 2 , … , yk, t – p) .

Пример
Рассмотрим следующую модель VAR(1) для двух рядов (k = 2, p = 1):
    y1t = 0.6 + 0.7 y1, t – 1 + 0.2 y2, t – 1 + ε1t ,
    y2t = 0.4 + 0.2 y1, t – 1 + 0.7 y2, t – 1 + ε2t .
Приводимый ниже график иллюстрирует поведение смоделированной пары               y1t, y2t
порождаемой этой моделью для t = 2, 3, …, 100. В качестве начальных значений были взяты
y11 = y21 = 0; ε1t и ε2t моделировались как независимые случайные величины, имеющие
одинаковое нормальное распределение N(0, 0.12).

Страницы