Эконометрика: Введение в регрессионный анализ временных рядов. Носко В.П. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Последнее представление можно записать как
y
t
– Π
1
y
t – 1
– Π
2
y
t – 2
– … – Π
p
y
t – p
= µ + ε
t
,
(I
k
– Π
1
L – Π
2
L
2
– … – Π
p
L
p
) y
t
= µ + ε
t
,
или
A(L) y
t
= µ + ε
t
,
где
A(L) = I
k
– Π
1
L – Π
2
L
2
– … – Π
p
L
p
.
Условие стабильности такой VAR модели состоит в следующем:
• Все k корней уравнения
det(I
k
– z Π
1
– z
2
Π
2
– … – z
p
Π
p
) = 0 (т.е. det A(z) = 0)
лежат за пределами единичного круга
на комплексной плоскости (т.е. модули всех k
корней больше единицы
).
Если это условие выполняется, то при продвижении вперед по оси времени система
постепенно “забывает” о том, при каких начальных значениях y
1
, y
2
, … , y
p
она начала
реализовываться. Стабильное состояние системы находится путем приравнивания L = 1 и
0
=
t
ε
. При этом получаем
A(1) y
t
= µ ,
так что стабильное состояние определяется как
y
t
= A
– 1
(1)
µ .
Пример
Продолжим рассмотрение модели VAR(1) для двух рядов
y
1t
= 0.6 + 0.7 y
1,
t – 1
+ 0.2 y
2,
t – 1
+ ε
1t
,
y
2t
= 0.4 + 0.2 y
1,
t – 1
+ 0.7 y
2,
t – 1
+ ε
2t
.
В компактной форме эта система имеет вид
y
t
= µ + Π
1
y
t – 1
+ ε
t
,
где
=
t
t
t
y
y
y
2
1
,
=
4.0
6.0
µ
,
=Π
7.02.0
2.07.0
1
,
=
t
t
t
2
1
ε
ε
ε
,
или
A(L) y
t
= µ + ε
t
,
где
7.012.0
2.07.01
7.02.0
2.07.0
10
01
)(
12
−−
−−
=
−
=Π−=
LL
LL
LL
LL
LILA ,
так что
.
64
46
)1( ,
3.0 2.0
2.03.0
)1(
1
=
−
−
=
−
AA 
Последнее представление можно записать как
     yt – Π1 yt – 1 – Π2 yt – 2 – … – Πp yt – p = µ + ε t ,
     (Ik – Π1 L – Π2 L2 – … – Πp Lp) yt = µ + ε t ,
или
     A(L) yt = µ + ε t ,
где
     A(L) = Ik – Π1 L – Π2 L2 – … – Πp Lp .
Условие стабильности такой VAR модели состоит в следующем:
     • Все k корней уравнения
          det(Ik – z Π1 – z2 Π2 – … – zp Πp) = 0 (т.е. det A(z) = 0)
          лежат за пределами единичного круга на комплексной плоскости (т.е. модули всех k
          корней больше единицы).
Если это условие выполняется, то при продвижении вперед по оси времени система
постепенно “забывает” о том, при каких начальных значениях y 1 , y2 , … , y p она начала
реализовываться. Стабильное состояние системы находится путем приравнивания L = 1 и
ε t = 0 . При этом получаем
     A(1) yt = µ ,
так что стабильное состояние определяется как
     yt = A– 1(1) µ .

    Пример
    Продолжим рассмотрение модели VAR(1) для двух рядов
    y1t = 0.6 + 0.7 y1, t – 1 + 0.2 y2, t – 1 + ε1t ,
    y2t = 0.4 + 0.2 y1, t – 1 + 0.7 y2, t – 1 + ε2t .
В компактной форме эта система имеет вид
    yt = µ + Π1 yt – 1 + ε t ,
где
           y              0.6             0.7 0.2            ε 
     yt =  1 t  , µ =   , Π1 =                , ε t =  1 t  ,
            y2 t          0.4             0.2 0.7            ε2 t 
или
    A(L) yt = µ + ε t ,
где
                               1 0   0.7 L 0.2 L  1 − 0.7 L − 0.2 L 
     A( L) = I 2 − Π 1 L =          −               =                ,
                               0 1   0.2 L 0.7 L   − 0.2 L 1 − 0.7 L 
так что
               0.3 − 0.2                       6 4 
     A(1) =                    , A −1 (1) =      .
               − 0.2     0.3                   4 6 

Страницы